Связь между энтропией черной дыры Хокинга-Бекенштейна и энтропией запутанности

В настоящее время я делаю проект по двусторонним черным дырам Ads-Schwarzschild в контексте Ads/CFT. Я хочу показать, что энтропия запутанности между двумя КТП примерно соответствует энтропии черной дыры Хокинга-Бекенштейна.

Энтропия Хокинга-Бекенштейна

Давайте сделаем это для трехмерного случая (также известного как черная дыра BTZ), чтобы не усложнять задачу. Метрика черной дыры BTZ равна

г с 2 знак равно − ф ( р ) г т 2 + ф ( р ) − 1 г р 2 + р 2 г ф 2
с ф ( р ) знак равно к 2 ( р 2 − мю 2 ) а также мю 2 знак равно 8 грамм н М к 2 . В этом случае площадь горизонта определяется выражением
А час знак равно 2 π р час знак равно 2 π 2 2 грамм н М к
А энтропия черной дыры С б час знак равно А час 4 грамм . Температура черной дыры определяется выражением κ 2 π с κ гравитация на поверхности. Если вы вычислите κ (который включает в себя вычисление символов Кристоффеля), а затем подставить его в Т час , ты ищешь С б час знак равно 2 М / Т (куда М это масса черной дыры.)

Энтропия запутанности

Со стороны КТМ такая черная дыра соответствует тепловому состоянию двух КТМ:

∣ ψ ( т ) ⟩ знак равно 1 Z ∑ н е − β Е н / 2 е − 2 я Е н т ∣ н ⟩ 1 ⊗ ∣ н ⟩ 2
куда Z знак равно ∑ н е − β Е н / 2 . Проследив одну из КТП, мы находим приведенную матрицу плотности
р 1 знак равно Тр 2 ∣ ψ ( т ) ⟩ ⟨ ψ ( т ) ∣= 1 Z ∑ н е − β Е н ∣ н ⟩ ⟨ н ∣ .
Отсюда мы можем вычислить энтропию запутанности между двумя CFT:
С е н т знак равно − Тр ( р 1 журнал ⁡ р 1 ) знак равно 1 Z ∑ н е − β Е н ( β Е н + журнал ⁡ Z ) .

Связывание двух

Насколько я понимаю, можно найти, что эти две энтропии примерно равны, но я не очень понимаю, как это получить. Может ли кто-нибудь указать, как я должен это сделать?

редактировать: я думаю, что связь между ними зависит от свойств CFT супер-Янг-Милла, который необходимо подключить, чтобы получить Е н . Это может быть немного за пределами моей досягаемости, так как у меня еще нет никакого опыта в CFT.

Может быть, вы найдете что-нибудь здесь: relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2011-8

Ответы (1)

Вы правы - ваша проблема заключается в незнании стороны ЦФТ. Это довольно сложно, поэтому я смогу дать вам только подсказки и ссылки. Полный ответ легко занял бы 50 страниц!

мы смотрим на ( 2 + 1 ) пространственная гравитация, двойная ( 1 + 1 ) размерная КТФ. Теперь наша задача состоит в том, чтобы вычислить энтропию запутанности в соответствующей КТП. Обратите внимание, что на самом деле это не теория «супер-Янг-Миллс». На самом деле, нам вовсе не обязательно быть полностью уверенным в теории, потому что оказывается, что конформная симметрия говорит нам достаточно, чтобы определить энтропию с точностью до некоторого множителя.

Следующий шаг — обратиться к литературе, точнее к этой статье Карди и Калабрезе. Они вычисляют энтропию запутанности, связанную с определенной областью. А принадлежащий 1 + 1 размерное пространство-время, в котором живет теория. Точнее вычисляют меру запутанности всего живого внутри А и все живое снаружи А .

Они продолжают использовать трюк с репликой ( хороший обзор здесь ) на решетчатой ​​QFT, который говорит, что

С А знак равно − Тр ( р А журнал ⁡ р А ) знак равно − лим н → 1 ∂ ∂ н Тр р А н

где матрица плотности р А дается более или менее вашей формулой для р 1 в вопросе.

Почему это помогает? Ну, это удаляет сложное выражение внутри Тр и заменяет его на тот, который легче вычислить. На самом деле его можно вычислить только из конформной симметрии, используя интерпретацию римановой поверхности. Сведение к уравнению ( 16 ) в статье выше даст вам суть.

После всей этой тяжелой работы ответ оказывается

С А знак равно с журнал ⁡ ( л / а )

куда с является центральным зарядом CFT, л это диаметр нашей области А , а также а - шаг решетки.

На первый взгляд это мало похоже на формулу Бекенштейна-Хокинга! На самом деле, для этого есть веская причина. Результат Бекенштейна-Хокинга является фактически полуклассическим, поэтому энтропия запутанности является полностью квантовой. Таким образом, мы должны ожидать получить С Б ЧАС как первый член разложения С А возможно.

На самом деле осознание этого требует некоторой технической работы по согласованию параметров на каждой стороне соответствия AdS/CFT. Для получения подробной информации вам нужно погрузиться в эту статью Кадони и Меллиса. Расширение, о котором я говорил, есть уравнение ( 41 ) .

Удачи с вашим проектом - я предполагаю, что это магистерская диссертация? Поначалу эта тема может показаться довольно сложной, но в ней много интересной математики и физики. И это действительно не имеет значения, если вы не все понимаете - никто не понимает!

Спасибо за ответ! Это было не для моей магистерской диссертации, а для какого-то меньшего проекта, так что это было пари, выходящее за рамки этого.
Я думаю, что результат Карди и Калабрезе, показанный выше, представляет собой «закон площадей» в одномерной системе, S_BH — в двухмерной. Так что они разные. Если вы вычисляете закон площадей в 2-х измерениях, то это S_BH (ведущий термин), как объясняется голографической энтропией запутанности.
Этот ответ смехотворно хорош.
Связь между энтропией черной дыры Хокинга-Бекенштейна и энтропией запутанности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v