Получение энтропии запутанности из энтропии Реньи

Я хочу знать, нужны ли какие-то предположения об отношениях между системами.$A$и$B$для гильбертова пространства как тензорного произведения

Вот общая идея факторизации в этом контексте. Отказ от ответственности: это не будет полностью строгим (как и во многих вычислениях в теории поля).

Рассмотрим для ориентации классическую механическую систему с двумя независимыми конфигурационными степенями свободы.$q_A$и$q_B$. Когда кто-то квантует такую ​​систему, он сопоставляет гильбертово пространство каждой независимой степени свободы, скажем$\mathcal H_A$и$\mathcal H_B$, а гильбертовым пространством для всей системы является тензорное произведение$\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B$.

Теперь рассмотрим некоторую классическую теорию поля на многообразии.$M$. Для такой системы существует бесконечное число степеней свободы, по одной для каждой точки многообразия, так как для задания классической конфигурации нужно было бы задать значения полей$\phi$в каждой точке$x$на коллекторе. Когда кто-то квантует, он, следовательно, назначает гильбертово пространство$\mathcal H_x$каждой из этих классических степеней свободы, а полное гильбертово пространство есть тензорное произведение

$$\bigotimes_{x\in M}\mathcal H_x$$ Теперь предположим, что я делю многообразие на две области. $M_A$и $M_B$, а именно $M = M_A\cup M_B$и $M_A\cap M_B = \emptyset$, затем обратите внимание, что гильбертово пространство системы имеет следующие факторы: $$\bigotimes_{x_\in M} = \left(\bigotimes_{x\in M_A}\mathcal H_x\right)\otimes\left(\bigotimes_{x\in M_B}\mathcal H_x\right)$$ Первый фактор — это то, что можно назвать $\mathcal H_A$, гильбертово пространство, соответствующее всем степеням свободы, присвоенным точкам в области $M_A$, и аналогично для второго фактора.

как это заявленное равенство следует из того,$S_A = lim _{n \rightarrow 1} S^{(n)}_A = - lim _{n \rightarrow 1} \frac{\partial \rho^n_A }{\partial n }$

Пусть матрица плотности$\rho$с собственными значениями$\lambda_k$быть данным. Связанная с ним энтропия фон Неймана определяется выражением

$$\begin{align} S(\rho) &= -\sum_k\lambda_k\ln\lambda_k \end{align}$$ Теперь обратите внимание, что $$\begin{align} \frac{d}{da}x^a &= \frac{d}{da}e^{\ln x^a} =\frac{d}{da}e^{a\ln x} =e^{a\ln x}\ln x =e^{\ln x^a}\ln x =x^a\ln x \end{align}$$ и поэтому $$\begin{align} \lim_{a\to 1}\frac{d}{da} x^a = x\ln x \end{align}$$ Следует, что $$\begin{align} S(\rho) &= -\sum_k\lim_{a\to 1}\frac{d}{da}(\lambda_k)^a = -\lim_{a\to 1}\frac{d}{da}\sum_k(\lambda_k)^a. \end{align}$$ Теперь позвольте $n$быть положительным целым числом и определить функцию $f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{C}$к $$\begin{align} f(n) = \sum_k(\lambda_k)^n. \end{align}$$ Я утверждаю без доказательств, что $f$можно аналитически продолжить так, чтобы его область определения включала все комплексные числа $a$с $\Re [a]>1$. Назовем это аналитическое продолжение $f_c$. Я утверждаю далее без доказательства, что явная формула для этого аналитического продолжения получается простой заменой $n$с $a$; $$\begin{align} f_c(a) = \sum_k(\lambda_k)^a. \end{align}$$ Теперь мы можем записать энтропию как $$\begin{align} S(\rho) = -\lim_{a\to 1^+}\frac{d}{da}f_c(a) \end{align}$$ Для $a =n$где $n$является положительным целым числом, обратите внимание, что $f$это просто след $\rho^n$; $$\begin{align} f(n) &= \mathrm{tr}(\rho^n) \end{align}$$ Если обозначить аналитическое продолжение $\mathrm{tr}(\rho^n)$в переменной $n$к комплексным значениям $a$с $\Re [a]>1$к $\mathrm{tr}(\rho^a)$, то получим искомую формулу $$\begin{align} \boxed{S(\rho) = -\lim_{a\to 1^+}\frac{d}{da}\mathrm{tr}(\rho^a)}. \end{align}$$

Дополнение. (15 октября 2013 г.) Вот и обещанное несколько месяцев назад доказательство первого равенства :). Я использую те же обозначения, что и выше. Тогда заметьте, что

$$\begin{align} \lim_{a\to 1^+} f_c(a) &= \mathrm{tr}\rho = 1 \\ \lim_{a\to 1^+} f_c'(a) &= -S(\rho) \end{align}$$ Это первое равенство следует из того факта, что операторы плотности не имеют следов, а второе равенство, по существу, является вторым равенством, которое я доказал ранее. Теперь, используя эти два факта, мы вычисляем; $$\begin{align} \lim_{a\to 1^+}\frac{1}{1-a} \ln f_c(a) &= \lim_{a\to 1^+} \frac{1}{1-a} \ln(f_c(1) + f_c'(1)(a-1) + O(a-1)^2) \\ &= \lim_{a\to 1^+} \frac{1}{1-a}\ln(1+S(\rho)(1-a)+ O(a-1)^2) \\ &= \lim_{a\to 1^+} \frac{1}{1-a}(S(\rho)(1-a) + O(1-a)) \\ &= S(\rho) \end{align}$$ по желанию!