Спин в магнитном поле и собственные значения

Я бы немного переформулировал проблему, чтобы соответствовать общепринятым обозначениям. При любом обсуждении магнитного резонанса частиц со спином 1/2, будь то электроны или, скажем, протоны, направление магнитного (поляризующего) поля всегда выбирается как +z в лабораторной системе координат. Тогда два стационарных состояния, которые (для удобства) я записываю как |+> и |->, соответствуют спину, ориентированному с его z-компонентой углового момента параллельно или антипараллельно поляризующему полю.

Стационарные состояния фактически являются собственными состояниями матрицы Паули с z-компонентой относительно текущей лабораторной системы координат.

Тогда оператор, который вы иллюстрируете, является линейной комбинацией всех трех матриц Паули в этом кадре. Любая матрица Паули (или их линейная комбинация) математически действует как генератор бесконечно малого вращения спина. Каждая из ваших обычных матриц x, y и z Паули по отдельности генерирует бесконечно малые вращения вращения вокруг этих осей. Лучшее обсуждение этого, которое я знаю, - это книга Мессии (как отмечено в более раннем ответе выше); вы также можете обратиться к книге М. Э. Роуза «Теория углового момента», которая доступна в виде переиздания в Дувре.

Вращение собственной схемы дает вам новое состояние, но не меняет вашего базиса, который в основном определяется направлением поляризующего магнитного поля. Вы можете вращать спины как угодно, но ваш результат все равно будет выражаться в виде линейной комбинации тех же самых собственных схем, если вы физически не измените направление поля.

До сих пор мы имели дело исключительно с квантово-механическим вращением.

Как только мы вводим «сферу Блоха», нам нужно ввести уравнения Блоха, которые являются классическими. На самом деле уравнения Блоха без релаксации являются в точности генераторами бесконечно малых вращений, но для трехмерных классических векторов, в частности (в случае магнитного резонанса) намагниченности. Я обычно (для удобства) стараюсь разделять в уме классическую и квантовую точки зрения, поэтому я думаю о матрицах Паули как о вращении отдельного спина, а о матрицах Блоха — как о вращении вектора объемной намагниченности, состоящего из равнодействующей многих миллионов отдельные спины.

Однако я подчеркиваю, что нет никакого логического требования смотреть на вещи таким образом. Простая точка зрения состоит в том, что матрицы Паули задают квантовое вращение, а матрицы Блоха — классическое вращение. Тем не менее, вы увидите чисто квантовые дискуссии, которые также относятся к сфере Блоха — я не думаю, что это должно вызвать у вас какое-то замешательство.

Надеюсь, это немного поможет; не стесняйтесь запрашивать разъяснения.

В квантовой механике «наблюдаемое», как положение атома,$\hat X$, представляется эрмитовым оператором. «Наблюдаемый» — это некоторая физическая величина, которую вы можете измерить, например положение. Собственные значения этого оператора являются возможными результатами измерения.

В квантовой механике «система» (некоторая физическая сущность, обладающая свойствами, которые можно измерить), такая как атом, описывается как находящаяся в некотором «состоянии», представленном в виде вектора, например,$|\Psi\rangle$, в том же пространстве, что и вышеупомянутый оператор.

Учитывая бесконечный набор одинаково подготовленных систем, находящихся в одном и том же состоянии, среднее значение, которое вы найдете, если измерите наблюдаемую в каждой системе, равно

Результат любого отдельного измерения, которое вы выполняете, должен оказаться одним из собственных значений оператора, представляющего измерение.

Например, если вы измеряете положение, вы можете найти значение$x_0$, которое является собственным значением$\hat X$. И тогда в этом случае состояние системы после измерения равно

Случай оператора положения на самом деле немного сложнее, чем случай спина 1/2 (из-за размерности и ненормируемости).

Для случая спина

Для получения дополнительной информации ознакомьтесь с авторитетной книгой по квантовой механике, которая охватывает основы. Например, «Квантовая механика» Коэн-Таннуджи и др. или «Квантовая механика» Мессии.

На ваши первые вопросы:

Наблюдаемые соответствуют эрмитовым (или самосопряженным) операторам.

Таким образом, собственные значения являются реальными, и эти значения являются возможными результатами.

Также из-за эрмитовости/самосопряженности оператора, когда у вас есть собственные векторы с разными собственными значениями, собственные векторы ортогональны.

Итак, вы знаете значения, но что происходит? Самая короткая история заключается в том, что измерение проецирует вектор на собственное пространство, и вы получаете собственное значение, соответствующее этому собственному пространству, а относительная частота получения разных результатов равна относительному квадрату длины проекций исходного вектора на ортогональные собственные пространства. И любая книга скажет вам это. Чтобы визуализировать это, вы можете представить себе проецирование на собственное пространство, а затем снова масштабирование до единичной длины (так что это не вращение). И представьте, что при этом вы получаете собственное значение (каким-то образом) в результате, и тогда вы можете представить, что это происходит каким-то образом вероятностно с частотой, равной отношению квадрата постпроекционной длины к квадрату предпроекционной длина.

Но ты хотел большего. Как измерение связано с унитарной эволюцией? Две части остаются неизменными, если смотреть на процесс реалистично. Во-первых, конечные результаты действительно ортогональны. Во-вторых, экспериментально наблюдаемая частота равна тому, каким был бы квадрат длины после проекции над квадратом длины до проекции, если бы проекция была. Итак, теперь давайте посмотрим, что происходит.

Происходит то, что система развивается в соответствии с уравнением Шредингера. И мы называем что-то измерением, когда оно превращается в сумму ортогональных состояний, которые всегда и навсегда останутся ортогональными. Распространенным способом достижения ортогональности является отсутствие пространственного перекрытия, например, устройство Штерна-Герлаха может отклонять единственный луч на два неперекрывающихся луча. Волновые функции находятся в конфигурационном пространстве, а конфигурационное пространство ошеломляюще обширно, поэтому, как только эти лучи начнут взаимодействовать с большим количеством различных частиц, заставляя их двигаться по-разному, маловероятно, что волновые пакеты когда-либо снова перекроются. Это необходимое условие для того, чтобы называть эволюцию измерением.

Другое, что вам нужно, это чтобы эти волновые пакеты были (в какой-то момент после того, как они станут навсегда ортогональными) собственными векторами наблюдаемой. Так, например, в методе Штерна-герлаха (би)вектор спина для двух пространственно непересекающихся лучей должен стать поляризованным, чтобы все они вращались вверх в одном луче и все вращались вниз в другом луче. Как это произошло? Что ж, гамильтониан для неоднородного магнитного поля делает это естественным образом, пример доступен на [ http://dx.doi.org/10.1119/1.4848217 ] (эта хорошая статья в American Journal of Physics), [ http:// arxiv.org/abs/1305.1280](arxivверсия). Если вы не хотите читать статью, изюминка в том, что единственный луч разветвляется, и громкость идет в одну сторону, а громкость — в другую, а относительная громкость зависит от того, насколько исходное состояние было вверх и вниз. вниз, и весь объем, который идет в одну сторону, имеет спин, поляризованный в одну сторону, и каждая часть объема, которая идет в другую сторону, имеет спин, поляризующийся в другую сторону. Это буквально то, как вы получаете повторяемость идентичных измерений и относительных долей. Все из уравнения Шредингера.

Так происходит измерение, и это также позволяет проводить слабые измерения, что часто происходит на самом деле, а иногда и является желаемым. Плюс это то, что описывается реальными уравнениями эволюции. И это то, что наблюдает лаборатория, и для этого требуется, чтобы вы действительно взаимодействовали с системой, чтобы провести измерение, а не махать руками в надежде, что измерение произойдет.

Но как насчет вероятностей? Когда лучи отклоняются и поляризуются, квадрат нормы каждой отклоненной волны равен квадрату длины после проекции над квадратом длины до проекции, если бы была проекция. Так что эта часть, опять же, уже учтена уравнением Шредингера.

Но поскольку все лучи существуют в соответствии с уравнением Шредингера, может показаться, что измерения не было. Ведь часть луча ушла влево, а часть вправо. Но лучи не только ортогональны, они должны всегда и навсегда оставаться ортогональными, что на самом деле требует, чтобы каждый теперь действовал так, как будто другой не существует. Каждая волна находится в конфигурационном пространстве, конфигурационном пространстве каждой частицы во всей вселенной, поэтому вселенная теперь состоит из двух частей, каждая из которых действует так, как будто она существует сама по себе, именно в том смысле, в котором измерение «произошло». "с разными исходами. Теперь есть части волновой функции, которые действуют независимо. И не будет никакого вреда, если люди в каждой части (частицы которых являются частью конфигурационного пространства) решат действовать так, как будто другие части не имеют значения. Поэтому в любой момент они могут не поверить в существование других частей, и это ничего не будет противоречить эволюции их части волны.

Именно поэтому я описал соотношения постпроекции и препроекции. Если вы хотите изменить масштаб своей части, потому что на нее никогда не повлияют другие части, это ничего не изменит. Общая норма ни на что не влияет, важны только относительные величины, и даже тогда она влияет на математику, только если волны не ортогональны. Таким образом, в какой-то момент вы можете изменить масштаб (или нет), и в какой-то момент вы можете действовать так, как будто произошло измерение (пока они теперь ортогональны, останутся ортогональными навсегда и когда-то находились в разных собственных пространствах).