Нейтральная квантовая частица в неоднородном магнитном поле

Question

Нейтральная квантовая частица в неоднородном магнитном поле

Руслан

Я пытаюсь понять эксперимент Штерна-Герлаха на вычислительном уровне. Предположим, что у нас есть нейтральная частица с магнитным моментом (например, нейтрон), и мы прикладываем к ней неоднородное магнитное поле (пусть оно изменяется линейно с координатой). Насколько я понимаю, его гамильтониан будет выглядеть так:

\hat{ЧАС} "=" - \frac{ℏ^{2}}{2 м} \nabla^{2} + (\frac{е}{м с}) \hat{\vec{с}} \vec{Б}

$\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+\left(\frac e{mc}\right)\hat{\vec s}\vec B$

Теперь спиновый оператор

{\hat{с}}_{я} "=" \frac{ℏ}{2} о_{я},

$\hat s_i=\frac{\hbar}2\sigma_i,$

где $\sigma_i$ является $i$ матрица Паули .

Так, для магнитного поля $\vec B=\vec e_x B_0 x$ у нас было бы уравнение Шредингера 1D (направления Y и Z могут быть разделены из-за трансляционной симметрии):

- \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial {Икс}^{2}} + (\frac{ℏ е}{2 м с}) о_{Икс} Б_{0} Икс ψ "=" я ℏ \frac{\partial ψ}{\partial т} .

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\left(\frac {\hbar e}{2mc}\right)\sigma_x B_0 x\psi=i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial t}.$

Теперь я попытаюсь решить это уравнение численно, взяв исходную волновую функцию в следующем виде:

ψ (Икс, т "=" 0) "=" (\begin{matrix} ψ_{0} (Икс) \\ ψ_{0} (Икс) \end{matrix}),

$\psi(x,t=0)=\begin{pmatrix}\psi_0(x)\\ \psi_0(x)\end{pmatrix},$

где $\psi_0(x)$ представляет собой гауссов волновой пакет с нулевым средним импульсом.

Проблемы начинаются, когда я выбираю $\sigma_x$ как обычно дают:

о_{Икс} "=" (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

$\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$

Решение выглядит так, как показано ниже. Т.е. обе составляющие волновой функции ускоряются влево!

введите описание изображения здесь

Я подумал, а что, если я выберу другую ось в качестве $x$ , поэтому я попытался сделать то же самое с $\sigma_y$ :

о_{у} "=" (\begin{matrix} 0 & - я \\ я & 0 \end{matrix}) .

$\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}.$

Результат на анимации ниже. Теперь немного лучше: волновая функция по крайней мере разделяется на две части, одна уходит влево, другая вправо. Но тем не менее, обе части состоят из смеси состояний со спином вверх и вниз, так что это не совсем то, что можно было бы ожидать от эксперимента Штерна-Герлаха.

введите описание изображения здесь

Наконец, я попробовал последний вариант — с помощью $\sigma_z$ :

о_{г} "=" (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) .

$\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$

Результат снова показан ниже. Наконец, я получаю разбиение на "независимые" части вращения, т.е. одна часть вращения идет влево, другая - вправо.

введите описание изображения здесь

Теперь вопрос : как интерпретировать эти результаты? Почему выбор активной оси приводит к таким резким различиям в результатах? Что я должен был сделать вместо этого, чтобы получить значимые результаты? Разве перестановка матриц Паули не должна влиять на результаты?

Ответы (1)

Нейтральная квантовая частица в неоднородном магнитном поле

грабить · Answer 1

Я собираюсь внести некоторые косметические изменения в ваше уравнение:

Ваше магнитное поле должно быть $\vec B = \vec e_x B_0 x/x_0$ , так что $\vec B$ и $B_0$ имеют одинаковые размеры. Это поле не подчиняется $\vec\nabla\cdot\vec B=0$ , но пока оставим это в покое.
Я напишу $\mu \vec\sigma\cdot\vec B$ для магнитной энергии. Обратите внимание, что магнитный момент нейтрона довольно мал, около 50 нэВ/Тл. Так называемые «ультрахолодные» нейтроны с энергиями ниже примерно 100 нэВ могут быть ограничены минимумом магнитного поля, но для холодных или тепловых нейтронов порядка мэВ регулированием Штерна-Герлаха обычно можно пренебречь. (Если бы это не было незначительным, вы могли бы использовать разделение Штерна-Герлаха, чтобы превратить один пучок нейтронов в два поляризованных луча, идущих в разных направлениях; увы, все настоящие поляризаторы нейтронов поглощают одно спиновое состояние.)
Ваше уравнение движения также разделимо во времени, поэтому я буду рассматривать только его пространственную часть; мы можем добавить фактор $e^{-i\omega t}$ позже.
я буду использовать $\phi$ и $\chi$ дать разные имена двум компонентам вашего спинора.

В матричных обозначениях ваше независимое от времени уравнение Шредингера имеет вид

(\begin{array}{cc} \frac{- ℏ^{2}}{2 м} \partial_{Икс}^{2} & \frac{мю Б_{0} Икс}{{Икс}_{0}} \\ \frac{мю Б_{0} Икс}{{Икс}_{0}} & \frac{- ℏ^{2}}{2 м} \partial_{Икс}^{2} \end{array}) (\binom{ф}{х}) "=" Е (\binom{ф}{х}) .

$\left(\begin{array}{cc} \frac{-\hbar^2}{2m}\partial_x^2 & \frac{\mu B_0 x}{x_0} \\ \frac{\mu B_0 x}{x_0} & \frac{-\hbar^2}{2m}\partial_x^2 \end{array}\right) {\phi\choose\chi} = E {\phi\choose\chi}.$

Это делает происходящее немного более очевидным. Когда вы определили свой первоначальный ансамбль так, чтобы $\phi = \chi = \psi_0(x)$ , вы устанавливаете свою систему в собственное состояние $\sigma_x$ ! Так что, конечно, весь ансамбль движется вместе: он поляризован по направлению поля! Если ваше начальное состояние $\phi = -\chi$ , вы должны заставить пакет двигаться в другом направлении.

Когда вы замените $\sigma_x$ с $\sigma_{y,z}$ , вы эффективно меняете направление поля. Помните, что энергия $\mu\vec\sigma\cdot\vec B$ ; если единственным ненулевым членом в этом произведении является $\sigma_y B_0 x/x_0$ , вы сообщаете своей модели, что сила поля меняется в зависимости от $x$ а указывает вдоль $y$ направление. (Поскольку эти поля подчиняются $\vec\nabla\cdot\vec B=0$ , вы все равно должны предпочесть их.) Итак, во второй и третьей фигуре вы ставите $x$ -поляризованный образец в поле вдоль $y$ или вдоль $z$ , и он отделяется. Разделение происходит по направлению градиента напряженности поля, а не по направлению поля; охотники UCN говорят о «сильных искателях поля» и «слабых искателях поля».

В поле указывая вдоль $z$ , ваш образец разделяется на ваш спинорный базис, который дает вам хорошие цвета.

В поле указывая вдоль $y$ , ваш образец все еще разделяется. Но вместо того, чтобы разделиться на $\phi,\chi$ основе, которую вы используете для цветов, диагональные состояния $\phi\pm i\chi$ . Это создает помехи, когда два волновых пакета перекрываются.

Вау, это интересно. Не могли бы вы уточнить, почему установка $\phi=\chi$ делает волновую функцию собственным состоянием $\sigma_x$ ? Я думал, что собственное состояние будет, если я установим, например, $\chi=0, \phi\ne0$ .
Домашнее задание: показать, что собственные векторы $\sigma_x$ являются $(1,±1)$ , и что собственные векторы $\sigma_y$ являются $(1,±i)$ . Найдите собственные векторы $\sigma_z$ . :-)
Ладно, кажется, я начинаю понимать. Но почему он распадается на спинорный базис для $z$ -направленное поле, но не для $y$ -направленный? Разве это не должно быть то же самое, потому что мы могли бы вращать систему отсчета вокруг $\vec e_x$ при переключении $y$ -поле для $z$ -field и ничего не изменилось?
Ах, кажется, я понимаю: эта разница неизмерима: плотность вероятности для электронов не меняется, так что это не настоящая проблема.
Я думаю, что я согласен с вами: единственная причина, по которой ответ на поле вдоль $z$ выглядит особенным, это то, что вы случайно выбрали $z$ оси для вашего представления.

Нейтральная квантовая частица в неоднородном магнитном поле

Руслан

Ответы (1)

грабить

Руслан

грабить

Руслан

Руслан

грабить

Вращение 111 против вращения 1/21/21/2

Как магнитный момент электрона может прецессировать вокруг направления внешнего магнитного поля?

Спин в магнитном поле и собственные значения

Перемещение электронов со спином вверх и вниз в магнитном поле [закрыто]

Энергетические уровни спинового состояния

Как выглядит магнитное поле (квантово-механического) электрона?

Последовательные приборы Штерна-Герлаха - реализуемый эксперимент или учебное пособие?

Демистификация связи между магнитными и электрическими полями

Связь между магнитным дипольным моментом и спиновым угловым моментом

Как передается сила, когда магнит притягивает железо?