Связь между пространственной, временной и пространственно-временной кривизной?

Я думаю, что основная проблема заключается в различии между математическим значением кривизны и способом, которым мы на самом деле описываем многообразие или искривленное пространство (или пространство-время).

Хотя мы описываем Вселенную как имеющую кривизну пространства-времени (что математически верно), кривизна относится к тензору кривизны Римана, который является тензором ранга 4, что означает, что он имеет$4^4 =256$компонентов, из которых (в силу различной симметрии)$20$являются независимыми. Это слишком громоздко даже для математиков, чтобы думать об этом, но что, безусловно, верно, так это то, что вы не можете четко разделить это на кривизну пространства и кривизну времени. Как говорит @G.Smith в комментариях, «временная кривизна» не имеет никакого смысла. Время — это одно измерение, а одномерное подпространство не имеет римановой кривизны.

Другими словами, мы используем математику искривленного пространства-времени, но на самом деле ничего не описываем непосредственно в терминах римановой кривизны. Мы пишем уравнение Эйнштейна для гравитации, используя тензор кривизны Эйнштейна (или Риччи), но поскольку он равен нулю, за исключением случаев наличия массы-энергии (источника гравитации), он не говорит нам напрямую о геометрии пространства-времени; чтобы знать, что мы должны решить уравнение Эйнштейна.

Когда мы решаем уравнение Эйнштейна, мы не находим кривизну как таковую. Вместо этого мы находим метрику . О метрике гораздо легче думать, чем о кривизне (мы можем написать формулу, по которой мы могли бы вычислить кривизну с учетом метрики, но на самом деле мы никогда не утруждаем себя этими ужасными вычислениями).

Вместо того, чтобы думать о кривизне, мы думаем о масштабировании искажений на картах. Другими словами, мы выбираем систему координат и думаем о том, как действительные или надлежащие величины проявляются в этих координатах. Собственные величины — это физические свойства, которые мог бы измерить наблюдатель, движущийся вместе с измеряемым объектом.

Мы можем сравнить это с масштабными искажениями на картах поверхности Земли. Возможно любое количество различных карт. Метрика для карты говорит нам, как сравнивать видимые расстояния на карте с фактическими расстояниями, измеренными кем-то на земле.

Так что вместо того, чтобы говорить о кривизне, говорите о масштабных искажениях на картах. Тогда ваш вопрос имеет смысл. Например, мы не можем напрямую измерить масштабные искажения в евклидовой геометрии в районе Земли, потому что они слишком малы. Но мы можем и измеряем масштабные искажения во времени. Часы на спутниках GPS измеряют ту же единицу времени, что и такие же часы на Земле. Они измеряют ровно одну секунду в секунду (как того требует общий принцип относительности). Но кажется, что на Земле они движутся с другой скоростью из-за искажения масштаба на карте, используемой для их описания. В самом деле, мы можем полностью объяснить ньютоновскую гравитацию с точки зрения масштабного искажения временной компоненты, причем масштабные искажения пространственных компонентов слишком малы, чтобы иметь какое-либо влияние.

Пространственно-временная метрика пространственно-плоской вселенной Фридмана — похожей на нашу, в самых больших масштабах — равна

где функция$a(t)$- масштабный фактор Фридмана, описывающий расширение пространства как функцию космологического времени.$t$.

Вы можете вычислить его четырехмерный тензор кривизны Римана$R_{\mu\nu\lambda\kappa}$и найти, что он имеет различные ненулевые компоненты, включающие первую и вторую производные по времени от$a(t)$. (Даже некоторые компоненты, у которых все четыре индекса являются пространственными, отличны от нуля!) Это пример искривления пространства-времени .

Теперь возьмите пространственно-подобный срез этого пространства-времени в какое-то постоянное космологическое время.$t_0$.

Метрика этого трехмерного пространства

где префактор$a(t_0)^2$это просто некоторая константа, которую можно включить в координаты, чтобы изменить их масштаб.

Вы можете вычислить его трехмерный тензор кривизны Римана и обнаружить, что все компоненты равны нулю. (Это должно быть очевидно, потому что это просто евклидова метрика.) Это пример пространственной плоскостности или нулевой пространственной кривизны.

Временной кривизны не существует, потому что существует только одно временное измерение, а одномерные (под)пространства всегда имеют нулевую риманову кривизну.

Понятие «пространственной кривизны» имеет смысл только тогда, когда геометрия пространства-времени достаточно симметрична, чтобы иметь естественное/предпочтительное расслоение ее на пространственноподобные срезы. Затем вы можете говорить о внутренней кривизне этих срезов.

Самый простой способ понять, почему кривизна может быть разной, — это взглянуть на игрушечную космологическую модель, например на картинку «расширяющийся воздушный шар»: трехмерное евклидово пространство, где время — это расстояние до начала координат. Геометрическое место точек пространства-времени с заданной временной координатой в этой модели представляет собой двумерное пространство постоянной положительной кривизны, но трехмерное фоновое пространство-время имеет нулевую кривизну.

Чуть более реалистичной игрушечной моделью является аналогичная модель в 3+1D-пространстве Минковского: внутренняя часть будущего светового конуса начала координат, где время представляет собой (временеподобное) расстояние до начала координат. Геометрическое место точек с заданной временной координатой представляет собой трехмерное пространство постоянной отрицательной кривизны. Эта модель на самом деле является моделью с нулевой плотностью энергии или с нулевой плотностью энергии.$G$предел любой расширяющейся космологии FLRW. Когда вы добавляете плотность энергии или гравитацию, пространство-время становится положительно искривленным. Пространственные срезы приобретают возрастающую кривизну, которая достигает нуля при критической плотности и положительна при более высоких плотностях. Временная координата FLRW аналогична радиальной координате полярной системы координат на искривленной поверхности, такой как поверхность земли, откуда, конечно, и произошло название «полярный». Координата времени — это широта, а координаты положения — долгота.

Я бы добавил ко всем ответам перед моим немного «пищи для размышлений». Я попытался бы показать вам наглядный пример риманова двумерного многообразия (т. е. регулярной поверхности, а не точно лоренцевой поверхности пространства-времени), которая представляет собой поверхность с отрицательной кривизной, но имеет целое семейство (на самом деле два семейства), которые прямые линии.

Посмотрите на однополостный гиперболоид . На нем есть два семейства прямых (терминология: «на нем есть два поперечных слоения прямых»). Как мы знаем, прямые линии столь же евклидовы, как и появляются, прямые во всех смыслах, будь то внутренние или даже внешние, как вложенные пространства в гиперболоид, а также в трехмерное пространство. Другой термин здесь - «гиперболоид - линейчатая поверхность». Тем не менее гиперболоид, как двумерное многообразие, имеет отрицательную кривизну. И хотя на гиперболоиде в каждой точке есть ровно два направления прямых (плоских, евклидовых), тем не менее вся поверхность имеет отрицательную кривизну!

Если вы теперь подумаете об однополостном гиперболоиде, вложенном не в обычное евклидово пространство трех, а в пространство Минковского два плюс один, вы получите модель пространства де Ситтера один плюс один, которое является типом неплоского пространства- времени .