Связь между угловым и линейным импульсом

Недавно я наткнулся на интересную задачу о бильярдных шарах.

введите описание изображения здесь

Вопрос просит нас определить высоту час чтобы мяч катился без проскальзывания сразу после удара.

Первое, что пришло мне в голову после прочтения этого вопроса, было то, что угловой момент и линейный импульс должны сохраняться, а связь между угловой и поступательной скоростью должна быть в "=" р ю , как до, так и после столкновения.

Из «Введения в классическую механику» Дэвида Морина есть это уравнение, которое связывает изменение линейного количества движения с изменением углового момента после воздействия импульса.

введите описание изображения здесь

Если бы я использовал это уравнение для этого вопроса, то это было бы

я ( ю а ф т е р − ю б е ф о р е ) "=" М ( в а ф т е р − в б е ф о р е ) час ,

час "=" ( 2 / 5 М р 2 + М р 2 ) ( ю а ф т е р − ю б е ф о р е ) М р ( ю а ф т е р − ю б е ф о р е )

Это дало бы нам довольно хороший ответ: час "=" 7 5 р .

Однако для уравнения: Δ л → "=" р → × Δ п → применять, он работает только тогда, когда сила, Ф ( т ) , применяется в одной позиции. Однако в этом случае действуют несколько сил (также приложенных в разных положениях), а именно нормальная сила, действующая на выступ, вес, а также нормальная сила, действующая на землю.

Как лучше подойти к этой проблеме?

Ответы (1)

Уравнение 8.6 выглядит неуместным. л → "=" р → × п → - угловой момент центра масс для вращений вокруг начала системы координат положение р → измеряется в.

Вот в чем дело - момент импульса в этой задаче просто не сохраняется. Выступ оказывает крутящий момент на шар, если только час "=" р . Кинетическая энергия сохраняется, вот и все. Я уверен, что вы сможете решить эту задачу, используя этот факт наряду с тем фактом, что сила, создающая импульс для отражения импульса мяча, также должна отражать угловой момент. Так

Ф → Δ т "=" Δ п → т → Δ т "=" Δ л → .

Качение без проскальзывания означает, что угловой момент мяча, касающийся центра масс, равен

л "=" я ю "=" 2 5 М р 2 в р "=" 2 5 М р в .
Поскольку и линейный, и угловой момент отражаются Δ п "=" 2 М в и Δ л "=" 4 5 М р в . Для углового момента относительно центра масс мяча т "=" Ф ( час − р ) .

Сложите все вместе и решите, и вы получите час "=" 7 р / 5 .

Почему мы можем игнорировать нормальную силу и вес? Это ключ ко всем этим проблемам с крутящим моментом - вы должны выбрать то, что вы считаете осью вращения, так что вы можете выбрать что-то удобное. Выше я неявно предполагал, что мы думали о вращении вокруг центра масс мяча . Вес и нормальная сила отменяются в мире Ф "=" м а , почему они не имеют отношения к этой проблеме в мире т "=" я α когда мы рассматриваем вращения вокруг центра масс? Кроме того, мы не учитывали трение для приближения качения без проскальзывания.

Попробуйте еще раз решить задачу на вращение вокруг точки соприкосновения мяча со столом, чтобы увидеть, сможете ли вы получить тот же ответ. :)

Привет, почему энергия сохраняется в этом случае? Разве это не может быть неупругим столкновением? Спасибо :)
@bobthelegend Вам не нужно предполагать, что столкновение эластично. Можно сказать, что конечная скорость составляет некоторую долю начальной скорости, в ф "=" ф в 0 , например, но все, что вы действительно сделаете, это немного усложните алгебру. Кроме того, если вы наблюдаете за бильярдными шарами на реальном столе, столкновения будут довольно близки к эластичным.
Я понимаю. У меня есть еще один вопрос. Сила (F), действующая на бильярдный шар со стороны выступа, направлена ​​к его центру. Но я вижу, что вы использовали одну и ту же силу как для крутящего момента, так и для импульса. Но только горизонтальная составляющая силы будет вносить вклад в линейный импульс?
«Сила (F), действующая на бильярдный шар со стороны выступа, направлена ​​к его центру». Почему вы так думаете? Этого не может быть, или он не мог создать крутящий момент, который изменил бы вращение мяча вокруг его центра масс. Вы можете добавить «предполагаемая сила уступа была горизонтальной» к упрощающим предположениям.
Я так и думал, так как сила нормальная, и она должна быть перпендикулярна поверхности?
@bobthelegend, перпендикулярный углу, не является четко определенным направлением. Более того, здесь также задействованы силы трения. Итак, представьте мгновенное движение той части мяча, которая коснется выступа непосредственно перед ударом — вниз и вправо. Поскольку трение препятствует относительному движению, оно будет создавать силу вверх и влево, что делает плечо рычага более длинным для добавления крутящего момента. Вы можете добавить к силе негоризонтальную составляющую и посмотреть, что получится, если хотите.
Связь между угловым и линейным импульсом
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v