Связь теорем Гёделя о неполноте и фальсификации Карла Поппера

Если бы вы определили изоморфизм между натуральными числами и некоторым элементом физической теории, это означало бы, что существуют утверждения о физической теории, которые нельзя доказать или опровергнуть в рамках теории . Это, конечно, не говорит о том, что каждое утверждение теории невозможно опровергнуть; и это ничего не доказывает относительно того, что могло бы произойти экспериментально. Физическая теория все еще могла быть ошибочной, если бы она противоречила эксперименту.

Обратите внимание, что если бы физическая теория была опровергнута, это не означало бы опровержение теории чисел; это только доказывает, что изоморфизм между теорией чисел и физической теорией не обязательно раскрывает какую-либо теоретико-числовую структуру реальности. Другими словами, прообраз физической теории посредством изоморфизма был бы теоретико-числовым выражением недействительной физической теории. Конечно, не то чтобы приоритетом теории чисел было прямое выражение физических физических структур.

Чтобы доказать, что «теория является истинной теорией», мы не можем использовать «принцип фальсифицируемости».

Поппер, похоже, не отвечает на вопрос Юма. Теория о том, что солнце всходит каждый день, возможно, вчера пережила фальсификацию, но является ли это основанием полагать, что она переживет фальсификацию завтра? Вот что хотел знать Хьюм.

Поппер возражает, что индукция не может быть оправдана. Тот факт, что теория была подтверждена в прошлом, «ничего не говорит о будущих результатах». Поппер хочет сказать, что можно избежать предположения, что будущее будет или, вероятно, будет таким, как прошлое, и именно поэтому он заявил, что решил проблему индукции. Нам не нужно делать предположения, говорит он нам, если мы продолжаем формулировать предположения и пытаться их фальсифицировать.

Он говорит, что в качестве основы для действий мы должны предпочесть «наиболее проверенную теорию». Это может означать только теорию, пережившую опровержение в прошлом; но почему, поскольку Поппер говорит, что прошлое подтверждение не имеет ничего общего с будущим исполнением, рационально ли предпочесть это? Фундаментальным является вопрос, как, даже теоретически, мы можем предпочесть одну гипотезу другой или принять одну как более близкое приближение к истине, чем другая, если прошлое подтверждение не имеет значения для будущего. Без индуктивного предположения тот факт, что теория была опровергнута вчера, совершенно не имеет отношения к ее сегодняшнему статусу истинности. Таким образом, отказ от индуктивного предположения делает бессмыслицей собственную теорию роста научного знания Поппера.

Теории или гипотезы могут подвергаться эмпирической проверке только в группах или совокупностях, а не изолированно. Идея здесь состоит в том, что одна научная гипотеза сама по себе не имеет никакого отношения к тому, что мы должны ожидать наблюдать в природе; скорее, мы можем вывести эмпирические следствия из гипотезы только тогда, когда она соединяется со многими другими убеждениями и гипотезами, включая фоновые предположения о мире, представления о том, как работают измерительные приборы, дальнейшие гипотезы о взаимодействиях между объектами в поле исходной гипотезы. исследования и окружающей среды и т. д. По этой причине, когда эмпирическое предсказание оказывается фальсифицированным, мы не знаем, лежит ли ошибка в гипотезе, которую мы изначально стремились проверить, или в одном из многих других убеждений и гипотез, которые также были необходимы и использовались для создания ошибочного предсказания. Это формирует критику методологического фальсификационизма.

Холистическая недоопределенность гарантирует, что не может быть такого понятия, как «решающий эксперимент»: единственный эксперимент, результат которого по-разному предсказывается двумя конкурирующими теориями и который, следовательно, служит для окончательного подтверждения одной и опровержения другой. Таким образом, наша реакция на экспериментальную или наблюдательную фальсификацию теории всегда недоопределена. Когда мир не оправдывает наших теоретически обоснованных ожиданий, мы должны от чего-то отказаться, но поскольку ни одна гипотеза никогда не проверяется изолированно, ни один эксперимент никогда не скажет нам, какое именно убеждение мы должны пересмотреть или отбросить как ошибочное. Все убеждения, которых мы придерживаемся в любой момент времени, связаны во взаимосвязанную сеть, которая сталкивается с нашим сенсорным опытом только на своей периферии.

ссылки: Питер Сингер, Куайн, Пьер Дюэм

Карл Поппер ошибается. Опровергаемость не является синонимом проверяемости или проверяемости. Рассмотрим следующую схему:

В этой очень простой таблице мы видим, что истинное состояние утверждения поддается проверке , если истинное состояние соответствует условию, которое можно определить. Неважно, есть ли у истинного утверждения нефальсифицируемое доказательство; «ложный» результат невозможен в любом случае. Если истинное состояние является «истинным», оно должно быть только «поддающимся проверке», что означает, что его можно проверить за конечное время . Только неподдающиеся проверке истинные состояния и не поддающиеся фальсификации ложные состояния являются непроверяемыми. Все остальные состояния проверяемы. [Сет Стюарт, оригинальная работа, 2019 г.]

Поппер либо ловко, либо невежественно преуменьшает важность обсуждения дополнительного атрибута фальсифицируемости — «верности», предполагая, что утверждение ложно (он видит или хочет, чтобы мы видели только верхнюю строку этой таблицы). Полное решение вопроса о верифицируемости принимает во внимание как фальсифицируемость, так и правдивость. Эта более общая проблема верифицируемости сводится к проблеме разрешимостив области компьютерных наук: проблема заключается в том, можем ли мы написать программу, которая определяет, остановится ли данная (неизвестная) программа когда-либо. Если она останавливается на всех входах, она называется разрешимой программой. Проблема решения, разрешима ли любая произвольная программа, является неразрешимой проблемой, потому что некоторые программы могут работать вечно. Программа номинально неразрешима, если существует хотя бы один ввод, который никогда не остановит ее. Однако некоторые проблемы являются полуразрешимыми : «Проблема называется частично разрешимой, полуразрешимой, разрешимой или доказуемой , если A — рекурсивно перечислимое множество. Это означает, что существует алгоритм, который в конце концов останавливается, когда ответ положительный, но может Беги навсегда, если ответ нет. Частично разрешимые проблемы и любые другие неразрешимые проблемы называются неразрешимыми». [Выделение добавлено]. Вопиющая ошибка Поппера состоит в том, что он смешивает полуразрешимость с неполуразрешимой неразрешимостью.

Можно возразить, что полуразрешимые проблемы (либо нефальсифицируемые, либо не поддающиеся проверке) не стоят того, чтобы их решать, потому что у нас нет гарантии, что когда-либо будет найден результат. Для экспериментатора нет способа априори отличить нефальсифицируемое ложное утверждение от нефальсифицируемого истинного утверждения до тех пор, пока не встретится свидетельство, подтверждающее истинность утверждения (чего никогда не произойдет, если оно ложно). Это проблема остановки. Однако тот факт, что мы еще не встретили положительного доказательства утверждения, не означает, что оно ложно, даже если утверждение нефальсифицируемо. Могут существовать нефальсифицируемые утверждения, которые являются истинными, а те, которые истинны и доказуемы, поддаются проверке. Такие истины и их доказательства находятся в сфере терпения . Примером являетсяГипотеза Коллатца : если существует единственный контрпример, все, что нужно сделать, — это набраться терпения, чтобы проверить достаточное количество чисел, чтобы найти этот контрпример. Так что, по сути, Поппер утверждает, что мы должны ограничить наш поиск исключительно разрешимыми утверждениями, при этом искажая все утверждения либо как полностью разрешимые, либо как полностью неразрешимые.

Понимая идею Поппера в том, что это такое, представление о том, что опровержимость равна проверяемости или доказуемости , в общем случае ложно , и нам остается просто проблема разрешимости и теоремы Гёделя о неполноте для некоторых аксиоматических систем в качестве нашего набора критериев доказуемости в логической системе. так что дальше примирения не будет. Ошибка Поппера является примером ошибочного предположения об отрицательном результате как предварительного условия для попыток проверки и ошибочного нетерпения.