Что такое математика? [дубликат]

Является ли математическая практика:

  • акт открытия вечных объектов и идей, независимых от человеческого существования;
  • игра без интуиции, в которой символы манипулируют в соответствии с фиксированным набором правил;
  • или продукт конструкций из примитивных интуитивных объектов, прежде всего целых чисел?

Я хотел бы, чтобы кто-нибудь объяснил, какие направления мысли стоят за этими определениями, какова связь между ними, могут ли все они быть одинаково верными, есть ли среди них наиболее точное определение и все сопутствующие вопросы...

Я просто мирянин, интересующийся философией.

О первом см. Платонизм ; для второго см. Формаизм и для третьего см. Интуитивизм . В общем, см. Философия математики .
Есть и более современные выпуски: см. Аргументы натурализма и незаменимости .
Даже формальные системы допускают интуицию: в этом, например, разница между новичком и экспертом в шахматах. Нужно просто быть честным в отношении того, откуда берутся правила и чего мы надеемся достичь, «играя».
Это нечто среднее между философией и физикой.
Ваш вопрос слишком общий и требует подробностей, чтобы можно было дать здесь разумный ответ на менее чем 400 страницах. Попробуйте выбрать более конкретный вопрос и, возможно, попробуйте опубликовать несколько вопросов. Сосредоточьтесь на одной школе мысли или спросите, как конкретный вопрос относится к каждой отдельной школе мысли.
@NieldeBeaudrap Да, но формалисты рассматривают интуицию в первую очередь как способность бессознательно вычислять то, что можно либо сознательно вычислить, либо разумно предположить. Это не значит то же самое для остальных из нас. Для платоников и интуиционистов подтверждение, обоснование или разработка интуиции является целью математических упражнений. Это то, что придает смысл системе.
Математика – это форма мышления. Не надо его идеализировать. Никто не думает о математике перед смертью. Каждый человек думает перед смертью о любви, боге, откровении и страданиях. Подумайте об ЭТОМ . Математика и наука — это форма развлекательного обучения тому, как думать.
Просто для записи все объекты вечны. Так что подметать во дворе, замечая и думая, тоже довольно божественно. Ты пробовал?

Ответы (2)

Это золотой вопрос! И, кстати, без решения. Ответ требует некоторого философского обоснования, которое практически основано на мнении. Хорошим подходом к школам являются http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/ . Я бы также рекомендовал предисловие ко второму изданию https://archive.org/details/principlesofmath005807mbp .. При выборе школы мысли не забывайте учитывать, что всякая теория по своей сути ошибочна; например, теория конкатенации имеет логические циклы по своей природе, потому что мы используем конкатенацию, чтобы приблизиться к теории (слово в английском языке является конкатенацией, и нам нужно несколько английских слов, чтобы объяснить фундаментальные понятия, которые могут определять конкатенацию). То же самое происходит и с математикой. Когда математики пытаются определить число 2, они уже используют это понятие, потому что «идея» двойки уже присутствует в таких понятиях, как диадические отношения или английские частицы с двумя буквами. Итак, вы должны сосредоточиться на теории, которая имеет более практическое применение и краткость. Возьмем, к примеру, интуитивизм, хотя у него есть очень интересные точки зрения, но он не может Даже классический анализ не построить, так что он не очень полезен. Логицизм Рассела, хотя и принимает понятие универсалий, таких как отношения и классы, вывел всю математику, используя только логику отношений, поэтому на него стоит обратить внимание. Будьте осторожны с тем, что люди говорят о логицизме, они склонны к преувеличению, он определял математику как логику, а логику как математику, поэтому его идеи не понравились математикам, которые любили думать о логике как о какой-то отдельной философской ветви, не очень полезной.

Хорошего дня.

Интуитивизм не преминул построить классический анализ, он принял ограничение на бесконечность, которое противоречило классическому анализу. Многих структур, наиболее важных для классического анализа, просто не существовало в интуитивистской конструкции, и поэтому такие вещи, как непрерывность, теряют смысл. Поскольку все результаты классического анализа, исключаемые интуиционизмом, либо требуют вещей, которые невозможно построить, либо иным образом не могут считаться полезными, это не провал, это онтологическая позиция.
@jobermark Например, какая бы конструкция интуиционизма ни была, это не классический анализ.
Просто указываю, что, когда вы говорите об основополагающих принципах, неудача относительна. ZF не справляется со сбором всех групп? Значит ли это, что традиционная теория множеств «не может даже» достичь достижений интуиционизма в абстрактной алгебре? Конечно нет.
@jobermark Я знаю, я согласен с тобой. Простите мой плохой выбор слов. Я имею в виду, что необходим классический анализ, а интуиционистский подход этого не дает.
Нет, не совсем, нужно что-то, что соответствует проверяемой части классического анализа. И оба подхода обеспечивают это. Должны ли они согласиться на более глубоком, более философском уровне, который не может добраться до точки приложения, действительно спорный вопрос. Например, физики используют «дельта»-функцию, непрерывную точечную функцию, которая «на самом деле не существует» в классическом анализе, но существует в интуиционизме. Так что же значит «необходимо»?
@jobermark Мне не нравится так думать. Более философский уровень – это обоснование всей совокупности знаний. Конечно, и ZF, и PM ведут к кардинальной арифметике, но арифметика натуральных чисел имеет непрослеживаемое происхождение, в отличие от большинства концепций анализа, основанных на философии. Мне нравится думать об анализе как о логике отношений: если мы продолжим философию, мы изменим все.
Хорошо, но вы упускаете из виду весь смысл философии математики, если изменение философии настолько опасно, что мы никогда не сможем этого сделать. Чтобы выразить это более полемично, чем я действительно думаю, просто для ясности: ZF — это заплатка на неудавшемся платонизме, стоящем за PM, которая превращает его в формализм, а не в естественный тип мышления. И поэтому она не удовлетворяет интеллектуально тех, кто хочет настоящей философии математики. Например, если физике нужна дельта-функция, формалистская функция обманывает, вы никогда точно не знаете, каковы побочные случаи, без тонны работы, которую никто не делает.
Посмотрите на что-нибудь вроде «Доказательств и опровержений» Лакатоша, в котором разыгрывается простой аналог или, что еще хуже, «Против метода» Фейерабенда, в котором подробно описаны исторические примеры, чтобы увидеть, как трудно исправить основу плохой теории. Но плохо есть плохо, а математика на данный момент близка к плохому.

Я бы сказал, что математика — это систематическое исследование идеализации и человеческой интуиции. Изучаемые объекты реальны только в идеализированном смысле, и операции должны подчиняться идеализированным правилам, которые приближают реальность узкими способами, сводящими к минимуму принятие внешних данных.

Поэтому я бы не стал утверждать, что речь идет конкретно о целых числах, но ваше последнее утверждение лучше всего соответствует моему опыту.

Первая ситуация — это собственно платонизм, вторая — формализм. Эти два подхода доминируют в этой области в том смысле, что «Ваш средний логик является платоником в будние дни и формалистом в воскресенье».

Третья позиция наиболее ярко отражена в проекте интуитивизма, пытавшегося решить вопросы парадокса Рассела и т. д., ставя под сомнение естественную силу отрицания и рассматривая математику скорее как совместное психологическое усилие, требующее исследования нашей общей интуиции, а не отражение внешних или формальных конструкций.

К сожалению, изменение смысла математики требует реконструкции того, что уже известно, в другой форме, а такие проекты не слишком захватывают воображение работающих математиков (хотя и пользуются большим успехом у тех, кто занимается другими вычислительными дисциплинами).

Вуа Вуа систематически? В ЛЮБЫХ исследованиях и размышлениях нет ничего систематического . Систематическим может быть только МЕТОД -- единственное орудие просветления, помогающее нам видеть факты. Всегда есть факты вне всяких методов, и тут нужно воображение.
Идея написания доказательств и передачи их в определенных обозначениях действительно является системой. Помимо этого, трудно рассматривать вещи как математику. Я бы сказал (вслед за Куном), что именно попытка систематизировать, сохранить функционирующий набор парадигм делает любое исследование или размышление наукой. Таким образом, в той мере, в какой математика пытается оставаться наукой, она на самом деле является систематической.
Воображение по-прежнему является частью системы, мы записываем наши представления и сравниваем их с другими.
То что вы описали это не математика. Это общество. Порядок и организация — ВРОЖДЕННОЕ свойство математических объектов. Это не дает нам права ошибаться в том, что математика сама по себе систематична. Математика как созидание и исследование не знает системы, иначе нечего будет открывать.
Наша математика — это социальное начинание с социологической оболочкой. Эта обертка могла быть другой, но воображать, что она может исчезнуть совсем, глупо. При такой систематизации остается огромное количество открытий, так что я не понимаю, что вы имеете в виду.
@AsphirDom Само ваше представление о том, что математические объекты имеют врожденные свойства (а тем более не говорящие о том, какими они должны быть), предопределяет проблему и навязывает платоновскую интерпретацию. Но мы знаем, что такая интерпретация ведет прямо к парадоксу Рассела. Так зачем форсировать события в направлении, которое терпит неудачу.
Я затрудняюсь понять, почему парадокс Рассела должен подрывать платонизм. Формы идей Платона не являются **расширениями**, в отличие от множеств.
@NickR Но наборы - идеальные формы. То же самое и с понятием отрицания или ошибки. То же самое относится и к понятию полноты или расширения. И если собрать их всех вместе, один из них должен уйти. Кроме того, я думаю, мне следовало бы сказать о математическом платонизме, который предполагает, что наши математические структуры существуют в том же смысле, что и идеи Платона. Но я почти уверен, что Платон согласился бы с этим.
Совсем не ясно, похожа ли человеческая математика на идеалы Платона. За последние 50 лет стало очевидно, что многие из наших теорий избыточны. Например, теория Галуа — это просто еще один способ формализации теории аналитических функций на комплексной плоскости. Точно так же наша теория эллиптических кривых — всего лишь еще одна формулировка комплексного анализа. Все это связано с чем-то, что называется программой Ленглендса. Парадокс Рассела говорит нам, что концепция коллективизации не имеет четкого определения и поэтому не является частью видения Платона. (продолжение...)
(...продолжение) Раньше я думал, что идеальный мир Платона должен содержать сам себя и поэтому по своей сути непоследователен. Честно говоря, я все еще думаю, что это непоследовательно, но по другим причинам. Точно так же результат Гёделя о неполноте не обязательно означает, что мир Платона неполноценен, поскольку он не обязательно является аксиоматизацией. Я бы назвал себя нечетким платоником.
(Контекст имеет значение.) Каких бы других понятий платонизма вы ни придерживались с более полной философской позиции, здесь мы говорим о философии математики. Таким образом, определение «платонизма», которое мы имеем в виду, состоит в том, что математические структуры обладают платоновской реальностью. Позиция, делающая их реальными идеалами вне человеческого процесса, на самом деле ведет прямо к парадоксу Рассела. И это сила, стоящая за тем, что @AsphirDom утверждал об их врожденном порядке.
Что такое математика? [дубликат]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v