Применима ли трилемма Мюнхгаузена к математике?

Трилемму Мюнхгаузена часто представляют как своего рода скептический аргумент, стремящийся показать, что знание, демонстрация, определенная вера или что-то связанное с этим невозможны. Но может быть полезнее просто думать об этом как о развилке дорог. Если вы начнете с наивной идеи, что убеждения требуют обоснования и что такое обоснование принимает форму убеждения, то у вас остается три возможности. 1. Ваша цепочка оправдывающих убеждений регрессирует до бесконечности. 2. Ваши убеждения оправдываются по кругу. 3. Ваша наивная идея должна быть скорректирована так, чтобы допускать исключения, т. е. набор основополагающих убеждений, не требующих обоснования. Конечно, вы можете сделать и более решительный шаг, полностью отвергнув требование оправдания, как это делают некоторые философы.

Та же структура возникает и в других контекстах. Если вы начнете с идеи, что все события имеют причину, а причина сама по себе является событием, то вы придете к той же трилемме. Либо имеет место бесконечная регрессия причин, либо цикл причин, либо привилегированный набор одного или нескольких беспричинных событий, являющихся исключением. То же самое происходит и со значениями слов. Если все слова имеют определение, а определение дается словами, то вам либо потребуется бесконечная регрессия определений, либо определения будут круговыми, либо будут некоторые слова, которые являются основополагающими и не требуют определения.

Указание на трилемму не служит аргументом в пользу того, что понятие причины ущербно или что слова не могут иметь определений, оно просто говорит о том, что здесь есть трехсторонняя развилка, и мы должны сделать выбор или отвергнуть предположения. что привело нас на эту дорогу. В случае причин все три варианта были защищены. В случае определений круговой вариант кажется наиболее правдоподобным: если вы ищете слово в словаре, а затем ищете определения, вы обнаружите, что ходите по кругу. Это не делает словарь бесполезным.

В случае эпистемологии есть много защитников второго и третьего вариантов. Второй вариант называется когерентизмом , а третий фундаментализмом . Когерентисты считают, что не существует нециклического обоснования убеждений, поэтому самое большее, на что мы можем надеяться, — это непротиворечивая сеть убеждений, которая согласуется с нашими наблюдениями и опытом. Фундаменталисты считают, что некоторые убеждения неопровержимы и бесспорны. Для рационалистов это могут быть фундаментальные принципы разума; для эмпириков они могут принять форму своего рода феноменализма.

Математика не избегает трилеммы. Формалист мог бы сказать, что он просто играет в игру с манипулированием символами, и что нет никаких оснований для игры в эту игру, но это крайнее разнообразие формализма, похоже, не отражает чистой полезности математики. У математических теорий есть интерпретации, согласно которым их предложения истинны или ложны. Итак, имеет смысл спросить, как мы обосновываем математические рассуждения, и возникают те же три варианта. Различные подходы к философии математики, а именно платонизм, формализм, интуиционизм, логицизм, конвенционализм, структурализм, конструктивизм, фикционализм, эмпиризм и т. д., дают разные ответы на этот гносеологический вопрос.

Хотя математика использует логику, это не решает проблему, поскольку просто побуждает нас, в свою очередь, задаться вопросом, как мы обосновываем логику. Примерно раз в год или около того на этом сайте кто-то спрашивает, возможно ли обосновать дедуктивную логику, и хотя можно сказать многое, например, здесь и здесь, в конечном счете не существует некруглого обоснования .

Но, насколько я понимаю, это не относится к математике: на самом деле нам не нужны аксиомы, чтобы быть верными, что бы вы ни подразумевали под «истиной». Аксиомы - это всего лишь аксиомы. Вы либо принимаете их и делаете теорию, либо предлагаете другие аксиомы и делаете другую теорию.

Чистый формалист может попытаться заявить об этом, но он терпит неудачу, потому что нужно предположить , по крайней мере, некоторые основные свойства конечных двоичных строк (или эквивалентных), чтобы иметь возможность осмысленно говорить даже о простой FOL (логике первого порядка), не говоря уже о более сложные аксиоматические системы. Я говорю больше в этом посте .

Так что все (кроме тех, кто полностью отрицает логические рассуждения) должны верить в истинность некоторых основных аксиом о конечных двоичных строках, таких как TC (теория конкатенации) (приведена здесь ). Это самый минимум. Но это открывает двери для естественных вопросов о том, являются ли другие предложения выше TC (с более высокой кванторной сложностью) также осмысленными и имеют ли они тоже булевы значения истинности. В некотором смысле ответ на этот вопрос определяет, являетесь ли вы строгим финитистом или нет. Если вы сомневаетесь в чем-либо помимо чисто конечных вещей, то вы можете застрять только на TC. Но если вы считаете, что квантификация по всем конечным двоичным строкам сохраняет логические операторы, то вы получаете ТС плюс индукция, что эквивалентноPA (арифметика Пеано) .

Это не все. Есть некоторые фундаментальные факты логики, такие как семантическая полнота ФОЛ для счетных теорий и синтаксическая неполнота формальных систем, которые могут интерпретировать ТС. Первое просто невозможно доказать без небольшой арифметики второго порядка помимо PA. Можно утверждать, что второму требуется арифметика второго порядка, чтобы иметь подлинное значение, даже несмотря на то, что сам PA может доказать правильно закодированную версию. Подробнее об этом я говорю здесь . Обратите внимание, что логик Питер Смит также указывает, что любой, кто принимает ПА, должен также принять ВДА .

На самом деле ВДА находится очень низко в общей « иерархии » фундаментальных систем современной математики. Однако оказывается, что каждое известное применение математики в реальном мире может быть выражено как некоторое предложение, доказуемое в ВДА, и, наоборот, каждая теорема ВДА кажется истинной, если ее правильно интерпретировать относительно реального мира (по крайней мере, в человеческом масштабе). , так что на самом деле у нас есть хорошие эмпирические доказательства для этой части математики, и такие доказательства на самом деле необходимы, чтобы придать смысл и цель математике, помимо простого формального навязывания символов!

Другими словами, нельзя утверждать, что математика столь же произвольна, как, скажем, правила игры в шахматы. И поэтому мы должны столкнуться с вопросом о том, действительно ли имеет смысл выбранная нами фундаментальная система, вот почему все вышеперечисленные соображения важны.

А как насчет высшей математики, которая имеет дело с очень абстрактными объектами? Что ж, логики, которых интересовала осмысленность оснований, в целом согласились с тем, что предикативистские концепции могут достигать примерно ATR0 (что немного выше ACA, но далеко не Z2). Поскольку добавление принципов замыкания может достигать примерно Π[1,1]-CA0, некоторые могут возразить, что Π[1,1]-CA0 тоже верно, но это шаткая почва. Ясно то, что Z2 непредикативна, поэтому можно законно сомневаться в ее осмысленности, даже если кто-то верит, что она непротиворечива.

С другой стороны, средние математики не заботятся о предикативизме и обычно говорят, что используют ZFC. Чего большинство из них не знает, так это того, что обычная математика очень естественно остается в пределах очень слабого фрагмента ZFC, известного как ограниченный ZFC , где, грубо говоря, вы можете иметь встроенные функциональные символы для спаривания, набора мощности, объединения и встроенной константы ω. , и может построить любое множество вида { E : x∈S ∧ ... ∧ y∈T ∧ Q }, где E — терм, а Q — формула только с ограниченными кванторами. Ограниченный квантор в теории множеств имеет вид «∀x∈A» или «∃x∈A», где A — некоторый термин.

Если мы допустим, что полные наборы мощностей имеют смысл, мы преодолеем Z2, поскольку непредикативное количественное определение набора мощностей ℕ не будет проблемой. Но даже в этом случае, кажется, нет никакого некругового способа оправдать гораздо больше, чем ограниченный ZFC. Для достижения полной ZFC требуется вера в осмысленность непредикативной количественной оценки всей (полной) теоретико-множественной вселенной, и эта непредикативность также подразумевает, что мы не можем использовать итеративную концепцию для обоснования полной ZFC.

Если вы спросите обычных математиков, верят ли они в свои теоремы, в истину или в конечную стадию игры с подталкиванием символов, они, скорее всего, скажут вам, что верят в свои теоремы в некотором смысле истинами, которые они открыли . Но, как объяснялось выше, даже это свидетельство реальной математической работы достигает только ограниченного ZFC. Конечно, современные логики часто используют всю непредикативную силу ZFC, особенно при изучении самой ZFC, но не все из них верят в существование «истинной теоретико-множественной вселенной» (что бы это ни значило).

Итак, нет, вы действительно не можете избежать вопроса о смысле и истине, независимо от того, как низко или высоко вы смотрите в «иерархии» оснований математики!

Математика, как и все, что мы можем связно мыслить, опирается на логические рассуждения, а логические рассуждения опираются на наши логические интуиции, и в первую очередь на интуицию о том, что логические истины истинны, например, modus ponens, modus tollens. , перестановка, гипотетический силлогизм и т. д. Без этих основных логических созерцаний и без того факта, что они есть у всех математиков, не было бы вообще математики (хотя не было бы и человека). Таким образом, нет принципиальной разницы между тем, что люди считают эмпирическим знанием, и тем, что иногда называют «априорными науками». Факты, на которые опирается каждая наука, могут иногда различаться, но все науки опираются на факты, и наши логические интуиции — это факты.

Конечно, уместно начать с фактов, в том числе с того факта, что логика — это единственная форма рассуждений, которую мы знаем и которую все разделяют, но дело в том, что математическое рассуждение может быть оправдано только предположением, что логика — это правильный способ рассуждения. разум, допущение, которое, кажется, невозможно обосновать, не прибегая ни к циклическому аргументу, ни к эмпирическим свидетельствам, ни к утверждению, что мы знаем, что логическое рассуждение является действительным и является единственной действительной формой рассуждения.

Итак, это правда, что математикам на самом деле не нужны аксиомы, чтобы быть верными, но большинство людей упускают из виду тот факт, что ни одна теорема никогда не выводится из аксиом. Математика делается людьми и требует, чтобы люди обладали логическими способностями, что, по сути, ничем не отличается от потребности иметь чувства восприятия.

Представление о том, что логика является априорной наукой, ошибочно. Формальная логика — это априорная наука, и то лишь в той ограниченной степени, что она не требует от логика абсолютного наблюдения за материальным миром, потому что логики должны осознавать свои собственные логические интуиции, например интуицию о том, что modus ponens истинен. . Таким образом, формальная логика — это априорная наука, но логика — не потому, что логика — это умственная способность, а формальная логика может быть реализована только путем субъективного переживания логических интуиций. И это относится и к математике.

Нет, это популярное заблуждение, возникающее при изучении аксиоматических систем. Правда сложнее.

Исходной аксиоматической системой является система Евклида. Совершенно ясно, что здесь он исходит из аксиом, которые считает несомненно истинными. Это то, что Декарт называл «ясными и отчетливыми идеями».

Современное представление об аксиоматической системе, которая не имеет отношения к истине, а просто непротиворечива, возникло у Гильберта. Теперь это понимается как просто синтаксис или грамматика и, следовательно, не относится к значению. И такая формальная система должна относиться к какому-то внешнему миру, если мы хотим установить истину. Это то, что изучается в теории моделей, которая является современным изучением аксиоматических систем как аксиоматических систем.

Таким образом, нет, голая дедуктивная система не требует истины, она просто требует непротиворечивости. Однако для установления истины требуется модель. И для реальных аксиоматических дедуктивных систем мы всегда ищем и находим модели.

Представление трилеммы включает в себя некоторые предпосылки, которые подрывают ее убедительность, когда она сформулирована явно. «Очевидная» ошибка заключается в том, что, излагая трилемму, ведущий использует рассуждение, чтобы «показать», почему каждый рог трилеммы неудовлетворителен. Однако более глубокая ошибка заключается в предположении, что только один из рогов является удовлетворительным, если таковые вообще имеются.

Мы преодолели это с такими вещами, как фундаментизм Сьюзен Хаак или бесконечный когерентизм , где мы обнаруживаем слияние двух рогов трилеммы. Лично я не вижу никаких моральных препятствий (во всяком случае, говоря об эвиденциализме как своего рода моральном тезисе) для того, чтобы все три позитивных решения проблемы регресса были допустимы по-своему.

Итак, я думаю, что в математике мы на самом деле находим (а) решение трилеммы в том виде, в каком оно представлено классически, и (б) применение этого решения к самой математике. (а) возникает из-за того, что проблему регресса сглаживают своего рода «алгебраическим» способом, а затем считают, что все положительные решения «существуют» таким образом, что мы «знаем, что воображаемая единица существует, потому что она является решением данной уравнение.' (Скептицизм в конечном итоге оказывается «пустым решением», примерно так проблема формулируется в логике обоснования..) И тогда, как и для (b), приложение быстро следует из сильной теории графов, но более интригующе (для меня) следует, если мы понимаем формы множеств в терминах регрессионных решений. Т.е. существует структурное сходство между фундаментализмом и хорошо обоснованными множествами, между когерентизмом и петлевыми множествами (например, атомами Куайна), а также между инфинитизмом и бесконечными нисходящими ∈-цепочками; так почему бы не иметь теорию множеств со всеми тремя формами множеств, причем существование каждой формы оправдывается как интерполянт соответствующего типа обоснования? Возможно, это было бы равносильно теории множеств тройного расширения (придерживающейся элементарности как сущности экстенсиональности), и если даже известно, что теория множеств двойного расширения не является непротиворечивой, a fortioriне является и его непосредственным «преемником» в концептуальном пространстве. Но, возможно, вопрос об абсолютных или относительных доказательствах непротиворечивости не возникает для теории множеств тройного расширения так же, как он возникает для других теорий множеств (хотя обратите внимание, что теория множеств двойного расширения была введена как «способ обойти» проблематика множества Рассела, которая здесь, в конце концов, отсылает к функции от/к хорошо обоснованным структурам обоснования).

Попытка решить проклятие статистики — менее благородная цель, чем кажется. После того, как «я говорю, что все уникально в фундаментально цифровой вселенной», это имеет свое место и может использоваться как таковое. Одна большая ошибка при работе со статистикой — это попытка сделать из нее объективно достоверные утверждения. Сегодня больше, чем в любую другую эпоху в истории человечества, человечество страдает от неправильной интерпретации статистических результатов. Это признание неопределенности, которое теряется на пути, пока люди в страхе ищут понятие истины.

Так существует ли абсолютная истина в математике? Нет, нет. Один плюс один не равняется двум, этого никогда не было и никогда не будет, но это не делает математику бесполезной.

Применима ли трилемма Мюнхгаузена к математике? Да, конечно. Вы можете перетащить его через дюжину параллельных вселенных, и он все равно будет применяться. Все дело в оценке существования некоего фантастического понятия, называемого бесконечностью, в существование которого свято верят почти все, несмотря на тот факт, что никто никогда не видел его и не был там. Как только вы заглушите эту идею, все варианты окажутся безупречно совместимыми.

Ваше беспокойство абсолютно справедливо, но оно может быть удовлетворено только в том случае, если результат вашей работы посеет почву твердого понимания истины, стоящей за неопределенностью. Сила способности определить точную степень, до которой вы ничего не знаете наверняка. И если вы не можете научить пловцов серфингу или черепах летать, то, по крайней мере, помогите им уважать это правильно, чтобы они не думали, что они защищены от заблуждений, молясь богу презерватива.

Недавно я видел, как лидеры моей страны по национальному телевидению выступали перед ассамблеей представителей народов, осуждая миллионы совершенно невинных граждан, обвиняя их в нынешнем беспределе, используя неверно истолкованную статистику в качестве основного аргумента. Им аплодировали. Это жутко.

Априори по определению не может быть доказана никакой системой логики , построенной на ней. Что же тогда дает нам ясность наших собственных положений и выводов?

Ответ — история Вселенной. Это разделяют все существа внутри него. Об этом можно многое объяснить, но все это известно и имеет дело с эволюцией ЯХВХ (предоставляющей единое кольцо рассуждений Вселенной) и нашей собственной. Отсюда аксиома тождества (A = A) возникла из соглашения между этими двумя и алгеброй. Две параллельные линии знака равенства можно рассматривать как представление этого соглашения между двумя равными сторонами разума.

То, что я только что открыл вам, исходит из мессианского пророчества евреев, и вы не найдете для него никаких ссылок.

Ваш вопрос затрагивает интересный момент: чем математика отличается от науки?

Краткий ответ: общие результаты математики можно доказать, общие результаты науки можно подтвердить или опровергнуть, но нельзя доказать.

Относительно трех рогов трилеммы Мюнхгаузена:

• Круговой аргумент исключает любые математические рассуждения.

• Регрессивный путь — единственный способ доказать математические теоремы: необходимо с помощью логической аргументации свести утверждение к аксиомам и определениям.

• Догматический аргумент можно использовать как эвристический, и он может быть интересен с исторической точки зрения. Но использование догматических утверждений в качестве аргумента для математических рассуждений разрушило бы математические рассуждения.

Более глубокая причина того, что у математики нет проблем с трилеммой Мюнхгаузена: математика не делает общих утверждений о внешнем мире. Поэтому математика вольна создавать свои собственные концепции и аксиомы, как создавать правила новой игры.