Квантовое туннелирование с дельта-потенциалом

Я пытаюсь создать анимацию квантового туннелирования, подобную этой .

Я изучал QM самостоятельно, поэтому, пожалуйста, простите и исправьте любые ошибки.

Я рассмотрел потенциальный барьер$\alpha \delta(x)$где$\alpha$является реальной константой и$\delta$принадлежит Дираку.

Я предположил, что волна приходит слева (идет справа), которая либо отражается от барьера, либо туннелирует через барьер. Решение независимого от времени уравнения Шредингера дало мне

$$\psi(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} 1\mathrm e^{\mathrm ikx} + R\mathrm e^{-\mathrm ikx} & : & x<0 \\ T\mathrm e^{\mathrm i kx} & : & x > 0 \end{array}\right.$$ где $k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$. Здесь $|R|^2$дает вероятность отражения волны и $|T|^2$вероятность туннелирования волны через барьер.

Мы хотим$\psi$быть непрерывным, и мы хотим, как$\varepsilon \to 0^+$,

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\frac{\mathrm d^2\psi}{\mathrm dx^2}~\mathrm dx+\alpha\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(x)\psi(x)~\mathrm dx= E\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\psi(x)~\mathrm dx$$ $$\lim_{\varepsilon \to 0}\left[\frac{\mathrm d\psi}{\mathrm dx}\right]_{-\varepsilon}^{\varepsilon} = \frac{2m\alpha}{\hbar^2}\psi(0)$$ Применение этих условий дает мне $$R=\frac{\alpha}{2\mathrm ik-\alpha} \ \ \ \mbox{ and } \ \ \ T=\frac{2\mathrm ik}{2\mathrm ik-\alpha}$$

$$\psi(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} \mathrm e^{\mathrm ikx} + \left(\frac{\alpha}{2\mathrm ik-\alpha}\right)\mathrm e^{-\mathrm ikx} & : & x<0 \\ \left(\frac{2\mathrm ik}{2\mathrm ik-\alpha}\right)\mathrm e^{\mathrm i kx} & : & x > 0 \end{array}\right.$$

Включая зависящий от времени термин$\varphi(t)=\mathrm e^{-\mathrm iEt/\hbar} = \mathrm e^{-\mathrm ik^2\hbar t/2m}$дает

$$\psi(x)\varphi(t) = \left\{ \begin{array}{ccc} \mathrm e^{\mathrm ik(x+k\hbar t/2m)} + \left(\frac{\alpha}{2\mathrm ik-\alpha}\right)\mathrm e^{-\mathrm ik(x-k\hbar t/2m)} & : & x<0 \\ \left(\frac{2\mathrm ik}{2\mathrm ik-\alpha}\right)\mathrm e^{\mathrm ik(x+k\hbar t/2m)} & : & x > 0 \end{array}\right.$$

я посмотрел на$|\psi(x)\varphi(t)|^2$и это не зависит от$t$.

Гриффитс упоминает о линейной комбинации$\psi(x)\varphi(t)$, но никаких подробностей не сообщает.

Есть идеи?