Я просматривал решенный пример (3.13) в книге серии Шаума по квантовой механике Йоава Пелега и др. (2-е изд.), где они решают для ступенчатого потенциала, когда частица высокой энергии приходит слева и движется вправо (ступенчатый потенциал подъем ведется слева направо). В пояснении автор говорит, что
« так как известно, что частица движется слева направо, следовательно, мы можем опустить бегущую слева волну в области высокого потенциала (правая сторона)» .
Мне не нравятся такого рода оправдания, мой дискомфорт возникает из-за того, что в КМ я видел, что иногда мы прибегаем к интуитивным аналогам, как в приведенном выше примере, но иногда мы этого не делаем, и нас поощряют не делать этого, потому что КМ часто противоречит интуиции (например, в периодическом кристалле импульс блоховского электрона отличается от импульса кристалла
Есть ли лучшее или более формальное обоснование для приведенного выше примера в отношении того, почему мы опускаем левую бегущую волну в области высокого потенциала?
Скрытый момент здесь в том, что мы решаем не задачу на собственные значения , как гармонический осциллятор или бесконечную квадратную яму, а задачу рассеяния . Уравнение (здесь Шрёдингера) для двух типов задач одно и то же, но граничные условия разные. В задачах на собственные значения мы обычно применяем нормировку полной вероятности и ожидаем, что волновая функция обращается в нуль на бесконечности. В задачах рассеяния мы нормируем на поток частиц . Есть разные способы обосновать этот выбор: например, это может быть связано с граничными условиями во времени (в ). Мы также можем решить эквивалентную задачу с исходящими граничными условиями — и можно показать, что входящие и исходящие решения являются двумя линейно независимыми решениями для каждой энергии.
Эти вопросы должным образом решаются (т. е. без обращения к интуиции) при изучении теории рассеяния, что обычно происходит ближе к концу курса квантовой механики. Эти вопросы также обычно пересматриваются в контексте квантовой теории поля, где вычисление сечений рассеяния является одним из центральных предметов. Введение их в самом начале излишне усложнило бы дело... но, к сожалению, порождает множество (вполне оправданных) вопросов по таким простым задачам, как рассеяние от потенциальной ступеньки.
Примечание. См. также мои ответы здесь и здесь для более подробной информации.
Qмеханик