Температура в гамильтоновом пределе

Я не совсем уверен, что понимаю ваш вопрос, но похоже, что основная путаница заключается в том, какие именно пределы принимаются в этом сопоставлении и как масштабируются переменные. Я почти повторяю трактовку Сачдева в начале его книги «Квантовые фазовые переходы», но адаптированную к двумерной цепочке Изинга и с вашими переменными.

Итак, ваши исходные переменные:

$\tau$: шаг решетки (в x и y)

$N$: количество узлов решетки (по x и y)

$\beta_x$: связь по x, деленная на T

$\beta_y$связь по y, деленная на T

Теперь вы собираетесь взять предел, где$\tau \rightarrow 0$, как вы сказали, и делать это особым образом. Конкретно:

-Брать$\tau \rightarrow 0$и$N \rightarrow \infty$, такой, что$N\tau=L$(длина системы) остается постоянной.

-Брать$\tau\rightarrow 0$и$\beta_y \rightarrow 0$, такой, что$\beta_y/\tau =E_{0,y}$остается постоянным, где$E_{0,y}$- энергия основного состояния на единицу длины в направлении y. Сделайте то же самое с$\beta_x$и$E_{0,x}$.

-Брать$\xi$как фиксированный, где$\xi$представляет интерес макроскопического свойства. Например, можно взять$\xi=(a/2)e^{2\beta_y}$, где$\xi$- длина корреляции (это выводит Сачдев).

Это сводится к сохранению масштабов большой длины (L и$\xi$) постоянная, а микроскопическая$\tau$уходит в ноль.

Таким образом, игра состоит в том, чтобы записать выражение передаточной матрицы для статистической суммы исключительно в терминах$L$,$E_{0}$песок$\lambda$, в этот момент он не изменяется при принятии термодинамического предела. Сделав это, вы обнаружите, что передаточная матрица T имеет вид:

$T=e^{\tau H'(E_{0,x},E_{0,y},\xi)}$

где$H'$— некоторая функция масштабированных параметров (которая станет новым гамильтонианом). Это означает, что выражение для статистической суммы принимает вид:

$Z=tr(T^N)=tr(e^{N\tau H'})=tr(e^{L H'})$

в этот момент выражение для статистической суммы полностью использует масштабированные переменные, и вы можете взять термодинамический предел, не меняя его форму.

В этот момент,$H'=E_{0,x}\sum_i \sigma_1(i) \sigma_1(i+1)+(1/2\xi)\sigma_3(i)+E_{0,y}$. Тогда вы можете отказаться от постоянного члена$E_{0,y}$и объедините два других члена в параметр$\lambda$чтобы получить ваше выражение.

Так что мне кажется, что вы, возможно, были сбиты с толку$N$и$L$, который, я надеюсь, назвал в соответствии с тем же соглашением, что и вы.$N$, число узлов решетки, действительно расходится в этом пределе. Однако выражение статистической суммы использует$L$, длина системы, которая остается постоянной в этом пределе.$L$играет роль обратной температуры рассматриваемой системы, а$\lambda$может содержать что-то вроде характеристической температуры$T_c$для фазового перехода. Это означает, что фаза системы определяется$L\lambda$, единственная доступная комбинация параметров.