Тензор энергии-импульса из обобщенного тока Нётер

Question

Тензор энергии-импульса из обобщенного тока Нётер

Физика
Нётер-теорема
законы сохранения
энергосбережение
классическая теория поля
стресс-энергия-импульс-тензор

Нанаси Но Гомбе

Продолжая, как здесь , давайте рассмотрим $N$ независимые скалярные поля, удовлетворяющие уравнениям движения Эйлера-Лагранжа и обозначаемые $\phi^{(i)}(x) \ ( i = 1,...,N)$ , и вытянуты в области $\Omega$ в $D$ -мерная модель пространства-времени $\mathcal{M}_D$ . Теперь рассмотрим классическую плотность Лагранжа, $\mathcal{L}(\phi^{(i)}, \partial_\mu \phi^{(i)}, x^\mu)$ . Применим следующее инфитезимальное преобразование с фиксированной границей к $\mathcal{M}_D$ .

\begin{aligned} (1) & Икс & \to {\tilde{Икс}}^{мю} \equiv {Икс}^{мю} + дельта {Икс}^{мю} (Икс), \\ (2) & и поля преобразуются как: ф^{(я)} (Икс) & \to {\tilde{ф}}^{(я)} (\tilde{Икс}) \equiv ф^{(я)} (Икс) + дельта ф^{(я)} (Икс) . \end{aligned}

$\begin{align*} x &\to \widetilde{x}^\mu \equiv x^\mu + \delta x^\mu (x), \tag{1} \\ \text{and the fields transform as: }\ \phi^{(i)}(x) &\to \widetilde{\phi}^{(i)}(\widetilde{x}) \equiv \phi^{(i)} (x) + \delta\phi^{(i)} (x). \tag{2} \\ \end{align*}$

Соответственно , до первого порядка по вариации плотность лагранжиана определяется выражением:

\begin{matrix} (3) & дельта л "=" \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф^{(я)})} (дельта ф^{(я)} - \partial_{ν} ф^{(я)} дельта {Икс}^{ν}) + л дельта {Икс}^{мю}) - л \partial_{мю} (дельта {Икс}^{мю}) . \end{matrix}

$\boxed{ \delta \mathcal{L} = \partial_\mu \Big( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )}(\delta\phi^{(i)} - \partial_\nu \phi^{(i)} \delta x^\nu) + \mathcal{L} \delta x^\mu \Big) - \mathcal{L} \partial_\mu (\delta x^\mu) } \,. \tag{3}$

Теперь, следуя обычным путем к нахождению тензора энергии-импульса, рассмотрим, что $\mathcal{L}$ не зависит явно от координат пространства-времени и что вариация $\delta\phi^{(i)}$ индуцируется бесконечно малым переносом $\delta x^\mu \equiv \epsilon \ a^\mu(x)$ для некоторого бесконечно малого числа $\epsilon > 0$ , под которым

\begin{matrix} (4) & {\tilde{ф}}^{(я)} (\tilde{Икс}) "=" ф^{(я)} (Икс + ϵ а) "=" ф^{(я)} (Икс) + ϵ а^{мю} \partial_{мю} ф^{(я)} (Икс) + О (ϵ^{2}) . \end{matrix}

$\widetilde{\phi}^{(i)}(\widetilde{x}) = \phi^{(i)} (x + \epsilon \ a)=\phi^{(i)}(x) + \epsilon \ a^\mu \partial_\mu\phi^{(i)}(x) + \mathcal{O}(\epsilon^2) \,. \tag{4}$

Вариация $\delta\phi^{(i)}$ на первый заказ в $\epsilon$ , поэтому дается

\begin{matrix} (5) & дельта ф^{(я)} "=" ϵ а^{мю} \partial_{мю} ф^{(я)} "=" \partial_{мю} ф^{(я)} дельта {Икс}^{мю} \end{matrix}

$\delta\phi^{(i)}=\epsilon \ a^\mu \partial_\mu\phi^{(i)}=\partial_\mu\phi^{(i)}\delta x^\mu \tag{5}$

что в сочетании с (3) означает, что

\begin{matrix} (6) & дельта л "=" \partial_{мю} л дельта {Икс}^{мю} "=" ϵ а^{мю} \partial_{мю} л "=" ϵ (\frac{\partial}{\partial ϵ} л ({\tilde{ф}}^{(я)} (\tilde{Икс}), {\tilde{\partial}}_{мю} {\tilde{ф}}^{(я)} (\tilde{Икс})))_{ϵ "=" 0} . \end{matrix}

$\delta \mathcal{L} = \partial_\mu \mathcal{L} \delta x^\mu=\epsilon \ a^\mu \partial_\mu\mathcal{L} = \epsilon \Big(\frac{\partial}{\partial \epsilon} \mathcal{L}\big(\widetilde{\phi}^{(i)}(\widetilde{x}), \widetilde{\partial}_\mu \widetilde{\phi}^{(i)}(\widetilde{x})\big)\Big)_{\epsilon=0}\,. \tag{6}$

Уравнение (6) тавтологично и не дает нам никакой новой информации. Я не вижу, как я могу найти тензор энергии-импульса, следуя этому пути.

Ответы (1)

Тензор энергии-импульса из обобщенного тока Нётер

Нанаси Но Гомбе · Answer 1

Здесь вы упускаете важную часть предположения, а именно то, что вы должны учитывать активное преобразование полей, чтобы достичь своей цели — найти тензор энергии-импульса. В ваших обозначениях, то есть

\begin{matrix} (7) & {\tilde{ф}}^{(я)} (\tilde{Икс}) "=" ф^{(я)} (Икс) . \end{matrix}

$\widetilde{\phi}^{(i)}(\widetilde{x}) = \phi^{(i)} (x) \,. \tag7$

Это значит $\, \delta \phi^{(i)} = 0$ , подразумевая , что сохраняющийся нётеровский ток равен

\begin{matrix} (8) & {Дж}^{мю} "=" - \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф^{(я)})} \partial_{ν} ф^{(я)} дельта {Икс}^{ν} + л дельта {Икс}^{мю} + Ф^{мю} "=" {Θ^{мю}}_{ν} дельта {Икс}^{ν} + Ф^{мю} \end{matrix}

$J^\mu = -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )} \partial_\nu \phi^{(i)} \delta x^\nu + \mathcal{L} \delta x^\mu + F^\mu = {\Theta^\mu}_\nu \delta x^\nu + F^\mu \tag8$

где

\begin{matrix} (9) & {Θ^{мю}}_{ν} \equiv - \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф^{(я)})} \partial_{ν} ф^{(я)} + {дельта}^{мю}_{ν} л \end{matrix}

${\Theta^\mu}_\nu \equiv -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )} \partial_\nu \phi^{(i)} + {\delta^\mu}_\nu \mathcal{L} \tag9$

со свойством, которое

(\partial_{мю} {Θ^{мю}}_{ν}) дельта {Икс}^{ν} + {Θ^{мю}}_{ν} \partial_{мю} (дельта {Икс}^{ν}) + \partial_{мю} Ф^{мю} "=" 0

$(\partial_\mu {\Theta^\mu}_\nu)\delta x^\nu + {\Theta^\mu}_\nu \partial_\mu (\delta x^\nu) + \partial_\mu F^\mu = 0$

\begin{matrix} (10) & \Rightarrow (\partial_{мю} {Θ^{мю}}_{ν}) дельта {Икс}^{ν} + \partial_{мю} Ф^{мю} "=" 0 . \end{matrix}

$\Rightarrow (\partial_\mu {\Theta^\mu}_\nu)\delta x^\nu + \partial_\mu F^\mu = 0 \,. \tag{10}$

Обратите внимание, что мы использовали это $\delta x^\nu$ постоянное смещение пространственно-временных координат.

Это количество ${\Theta^\mu}_\nu$ является возможным кандидатом на тензор энергии-импульса ${T^\mu}_\nu$ . Однако напомним, что важной особенностью последнего является то, что он симметричен. Мы можем использовать гибкость в выборе вспомогательного поля $F^\mu$ для построения требуемого симметричного тензора. Выберите следующее поле

\begin{matrix} (11) & Ф^{мю} \equiv {Θ_{ν}}^{мю} дельта {Икс}^{ν} \end{matrix}

$F^\mu \equiv {\Theta_\nu}^\mu \delta x^\nu \tag{11}$

и определим тензор энергии-импульса как

\begin{matrix} (12) & Т^{мю ν} \equiv Θ^{мю ν} + Θ^{ν мю} . \end{matrix}

$T^{\mu\nu} \equiv \Theta^{\mu\nu} + \Theta^{\nu\mu} \,.\tag{12}$

Уравнение (10) теперь означает, что

\begin{matrix} (13) & \partial_{мю} Т^{мю ν} "=" 0 \end{matrix}

$\boxed{\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0} \tag{13}$

ПРИМЕЧАНИЕ/ВНИМАНИЕ!

Чтобы уравнение (11) отражало правильный выбор, необходимо принять правильные условия асимптотического убывания для полей, их производных и лагранжиана. Это происходит потому, что постоянный сдвиг пространства-времени $\delta x^\mu$ не обращается в нуль на бесконечности, так что $\Theta^{\mu\nu}$ должны компенсировать это.
Вы рассмотрели пассивное преобразованиеи это не сработало по очень веским причинам. Тензор энергии-импульса системы - это физическая величина, которая остается сохраняющейся, если существует симметрия системы по отношению к пространственно-временным переносам (напомним из механики, что симметрия переноса во времени связана с сохранением энергии, а симметрия пространственного переноса дает сохранение импульса) . Следовательно, вам нужно только физически преобразовать конфигурацию поля. Преобразованная конфигурация поля должна соотноситься с исходной посредством пространственно-временного переноса. Это отличается от сохранения фиксированной фактической конфигурации поля и преобразования вашей системы координат и наблюдения за тем, как фиксированные физические поля появляются из вашей новой системы координат. Это не то, что вы хотите делать. Физический принцип заключается в том, что ваши поля обладают определенной симметрией, и поэтому вам обязательно нужно преобразовывать свои поля, чтобы исследовать природу симметрии. Поэтому необходимы активные преобразования.
Эти заметки представляют собой отличный сборник фундаментальных физических принципов, необходимых для понимания тензора импульса-импульса.

Тензор энергии-импульса из обобщенного тока Нётер

Нанаси Но Гомбе

Ответы (1)

Нанаси Но Гомбе

Сохранение энергии-импульса без трансляционной симметрии?

Сохранение энергии при расширении Вселенной [дубликат]

В чем причина того, что энергия всегда должна сохраняться, помимо наблюдения? [дубликат]

Докажите сохранение энергии, используя теорему Нётер.

Теорема Нётер в классической теории поля Путаница

Тензор энергии-импульса из теоремы Нётер

Сохраняется ли энергия в общей теории относительности? Представляет ли ∇aTabmatter=0∇aTmatterab=0\nabla_aT^{ab}_{\rm Matter}=0 закон сохранения энергии и импульса?

Почему зависимость от производных не является проблемой при определении канонического тензора энергии-импульса?

Как квантово-механически проявляется сохранение энергии?

Нётеровский заряд и класс эквивалентности нётеровых токов