Тензор энергии-импульса из теоремы Нётер

Это умный метод, используемый для получения тока Нётер для любой глобальной симметрии; для трансляционной симметрии он дает тензор энергии-импульса.

Мы должны рассмотреть локальное преобразование, потому что вариация действия,$\delta S$, исчезает для глобального преобразования, потому что глобальное преобразование по определению является симметрией:

$$\delta S = 0$$ Это значение $\delta S$следовало бы «тавтологически», и мы не могли бы вывести из него ничего нового.

Отсюда следует, что если мы «обобщим» правила преобразования симметрии и сделаем их$x$-зависимый, т.е. преобразование будет задано$\delta a(x)$(а также$a$является вектором для трансляций, но может быть скалярным для других симметрий), то$\delta S$будет ненулевым, но неизбежно будет зависеть от производных от$a$Только; за постоянный выбор$a$, мы должны получить ноль (потому что это глобальная симметрия). Для действий, зависящих только от первых производных полей, вариация действия неизбежно будет иметь вид

$$S = \int (\partial_\mu a) j^\mu d^d x$$ куда $j^\mu$является некоторой частной функцией полей или других степеней свободы (и их производных). Обратите внимание, что эта форма неизбежна: $\delta S$должен быть линейным в $a$и/или его производных, но он должен исчезнуть для $a={\rm const}$так что не может быть никаких терминов формы $\int ab\,\,d^dx$, т.е. члены, пропорциональные недифференцированным $a$. Также нет высших производных членов, если действие не имело начальных высших производных полей.

Теперь аргумент, что$j^\mu$- это ток просто. Когда уравнения движения удовлетворяются,$\delta S =0$для любой вариации полей, будь то симметрия или нет. Особенно,$\delta S = 0$выполняется для «обобщенной» или «локализованной» глобальной симметрии, заданной выражением$a(x)$что уже не является точной симметрией, поэтому$\delta S$является ненулевым выражением выше. Но интегрированием по частям$\delta S = 0$означает

$$0 = \int a(x)\cdot \partial_\mu j^\mu(x)\,\, d^d x$$ который исчезает тогда и только тогда, когда $\partial_\mu j^\mu$исчезает в каждой точке. Это доказывает, что $j^\mu$полученный таким образом — сохраняющийся ток; его интеграл должен быть сохраняющейся величиной. Вы можете спросить, зачем кто-то изобрел этот метод. Он или она изобрел это, потому что он или она были творческими и умными. Что важно для всех остальных, так это проверить приведенные выше аргументы и увидеть, что таким образом можно вывести сохраняющийся ток. Первоначальный автор метода смог «увидеть» весь аргумент в своей голове.

(Я также говорю «она», чтобы отдать дань уважения Нётер, которая не совсем изобрела этот элегантный метод — ее документы были грязными, — но она изобрела всю взаимосвязь между симметриями и законами сохранения.)

Почему мы считаем$x$-зависимое локальное преобразование вместо глобального преобразования?

Есть веская причина (см. ниже), почему нам нравится начинать с общего$x$-зависимое локальное инфинитезимальное преобразование,

$$x^{\prime \mu}- x^{\mu} ~=~ \delta x^{\mu} ~=~ - \varepsilon^{\mu},$$ $$\phi^{\prime}(x)-\phi(x) ~=~\varepsilon^{\mu} \phi_{,\mu},$$

куда$\varepsilon^{\mu}\equiv\delta a^{\mu}$является местным$x$-зависимый бесконечно малый параметр, и только позже специализируются на глобальном$x$-независимое (=жесткое) преобразование. Немного переборщив с локальными преобразованиями (по крайней мере, с точки зрения первой теоремы Нётер ), Ициксон и Зубер пишут на стр. 23 в книге QFT:

От исчезновения$\delta I$для произвольного $\delta a^{\nu}(x)$, мы делаем вывод, что поток энергии-импульса, описываемый каноническим тензором [...], удовлетворяет закону сохранения [...].

Важно подчеркнуть (как, кажется, знает OP), что в первой теореме Нётер необходима только глобальная симметрия .

Итак, давайте продемонстрируем это на примере. Если начать с глобального преобразования, то получится

$$\begin{align} 0~=~& \delta S ~=~ S[\phi^{\prime}]- S[\phi]\cr ~=~& \varepsilon^{\mu} \int_{V} {\rm d}^dx \left(\frac{\partial \cal L}{\partial \phi}\phi_{,\mu}+\frac{\partial \cal L}{\partial \phi_{,\nu}}\phi_{,\mu\nu}-d_{\mu}{\cal L}\right), \end{align} \tag{A}$$

куда$V$— некоторая область интегрирования, а$\varepsilon^{\mu}$является глобальным$x$-независимый инфинитезимальный параметр. Возьмем$V$быть$\subseteq\mathbb{R}^d$для простоты. Можно действовать в трех случаях:

1. Если область интегрирования$V$фиксируется, а поскольку ур.$(A)$по предположению верно для всех внеоболочечных конфигураций$\phi$поля, то можно сделать вывод, что подынтегральная функция$(A)$полное расхождение,

   $$\frac{\partial \cal L}{\partial \phi}\phi_{,\mu}+\frac{\partial \cal L}{\partial \phi_{,\nu}}\phi_{,\mu\nu}-d_{\mu}{\cal L}~=~d_{\nu} f^{\nu}_{\mu}. \tag{B}$$ [Слова « на оболочке» и « вне оболочки » относятся к тому, удовлетворяются ли уравнения движения или нет. Мы используем символ$d_{\mu}$(скорее, чем$\partial_{\mu}$), чтобы подчеркнуть тот факт, что производная$d_{\mu}$является полной производной, которая включает как неявное дифференцирование через переменную поля$\phi(x)$, и явное дифференцирование относительно.$x^{\mu}$.]

2. Если предположить (как это сделал Нётер в 1918 г.), что симметрия$(A)$выполняется для произвольных областей интегрирования$V$, то можно сделать вывод, что подынтегральная функция$(A)$тождественно исчезает

   $$\frac{\partial \cal L}{\partial \phi}\phi_{,\mu}+\frac{\partial \cal L}{\partial \phi_{,\nu}}\phi_{,\mu\nu}-d_{\mu}{\cal L}~=~0.$$ Это соответствует ур.$(B)$с$f^{\nu}_{\mu}=0$.

3. Если предположить (как Ициксон и Зубер), что лагранжева плотность${\cal L}$не имеет явного$x^{\mu}$зависимость, то симметрия$(A)$выполняется для произвольных областей интегрирования$V$, и один вернулся в случае 2.

Затем определите полный ток Нётер как

$$T^{\nu}_{\mu}~:=~\frac{\partial \cal L}{\partial \phi_{,\nu}}\phi_{,\mu}-\delta^{\nu}_{\mu}{\cal L} -f^{\nu}_{\mu}.\tag{C}$$

Несложно вывести уравнение неразрывности/закон сохранения

$$d_{\nu}T^{\nu}_{\mu}~=~\left(d_{\nu}\frac{\partial \cal L}{\partial \phi_{,\nu}}-\frac{\partial \cal L}{\partial \phi}\right)\phi_{,\mu}~\approx~0,$$

с помощью ур.$(B)$,$(C)$, и уравнение Эйлера-Лагранжа . [Мы используем$\approx$знак, чтобы подчеркнуть, что уравнение является уравнением на оболочке.]

Теперь вернемся к первоначальному вопросу. Стандартная причина начинать с местного варианта заключается в том, что не нужно угадывать/запоминать/вытаскивать из шляпы голый ток Нётера.

$$t^{\nu}_{\mu}~:=~ \frac{\partial \cal L}{\partial \phi_{,\nu}}\phi_{,\mu}-\delta^{\nu}_{\mu}{\cal L}.$$

Это просто выходит как термин, который умножает$d_{\nu}\varepsilon^{\mu}$в местном варианте, как объясняет в своем ответе Любош Мотл.

Наконец, обратите внимание, что полный ток Нётер$T^{\nu}_{\mu}$может по-прежнему содержать$f^{\nu}_{\mu}$кусок. Этот последний кусок может быть определен из общего члена расхождения$d_{\nu}f^{\nu}_{\mu}$умножается на недифференцированное$\varepsilon^{\mu}$в местном варианте. См. также соответствующий пост Phys.SE.

Это трюк вариаций, лучше всего его объясняет Фейнман в Характере физического закона. Дело в том, что закон сохранения исходит из симметрии плюс принцип минимума. Вы выбираете путь от A до B и переводите путь (вы также переводите конечные точки), чтобы получить путь от A' до B'. Путь, который быстро движется от А к А', затем от А' к В', затем от В' к В, является разновидностью исходного пути и, таким образом, имеет то же самое действие по принципу стационарного действия. Но путь от A' к B' имеет то же действие, что и путь от A к B по симметрии. Это означает, что небольшая часть действия от А до А' должна быть равна небольшой части действия от В до В'.

Это версия Фейнмана теоремы Нётер. Аргумент Фейнмана требует оценки действия небольшого толчка в начале и в конце пути с прыжками. Это математически раздражает, поэтому вы можете переформулировать аргумент более математически удобным способом, используя непрерывную версию.

Поэтому вместо этого подумайте о том, чтобы использовать аргумент Фейнмана на множестве временных интервалов и выполнять небольшой независимый перевод на каждом фрагменте. Тот же самый аргумент говорит вам, что маленькое действие, которое вы получаете в каждом фрагменте от небольшого перевода, будет одинаковым на противоположных концах. Таким образом, вариация действия при переносе, зависящем от времени, будет равна сохраняющейся величине, умноженной на производную параметра переноса по времени.

Это версия теоремы Нётер, которую используют книги, и она математически самая простая. Концептуальное обоснование такое же, как и в версии Фейнмана; эти два аргумента взаимозаменяемы.