Тензор Фарадея, антисимметричный второй ранг

Это действительно легко.

Сначала используйте определение тензора Фарадея:$F_{\mu\nu}\equiv\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$, а затем записать то же выражение, но в другой инерциальной системе отсчета, т.е.$F'^{\mu\nu}=\Lambda_{\ \alpha}^{\mu}\Lambda_{\ \beta}^{\nu}F^{\alpha\beta}$. И используя свойство$\Lambda$матрица:$\eta_{\alpha\beta}=\Lambda_{\ \alpha}^{\mu}\Lambda_{\ \beta}^{\nu}\eta_{\mu\nu}$, вы получите это$F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu}=F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}$, т.е.$F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}$является лоренц-инвариантной величиной. Затем для выражения этого в терминах электромагнитных полей вы должны использовать матричное выражение$F^{\mu\nu}$: пусть говорят$F$, с точки зрения электромагнитных полей. И количество$F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}$в матричных терминах, это след матрицы$FF^T$. то есть

$$F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}=Tr(FF^T)$$

------------------------ Отредактировано ----------- -

Теперь мы знаем, что интервал$s^2:=x_{\mu}x^{\mu}$должен быть лоренц-инвариантным, другими словами, если$x'^{\mu}=\Lambda_{\ \nu}^{\mu}x^{\nu}$это мировая линия частицы, измеренная инерциальным наблюдателем, который движется со скоростью$\vec v=v \hat u_x$, где

$$\Lambda_{\ \nu}^{\mu}=\begin{pmatrix}\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

тогда следует считать, что

$$x_{\mu}'x'^{\mu}=x_{\mu}x^{\mu}$$ откуда мы это знаем $x_{\mu}=\eta_{\mu\nu}x^{\nu}$и метрика $$\eta_{\mu\nu}:=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)=:\eta^{\mu\nu}$$ тогда у нас есть это $$x_{\mu}'x'^{\mu}=\eta_{\mu\nu}x'^{\nu}x'^{\mu}$$ $$\eta_{\mu\nu}x'^{\nu}x'^{\mu}=\eta_{\mu\nu}\Lambda_{\ \alpha}^{\nu}x^{\alpha}\Lambda_{\ \beta}^{\mu}x^{\beta}$$ $$\eta_{\alpha\beta}x'^{\alpha}x'^{\beta}=\eta_{\mu\nu}\Lambda_{\ \alpha}^{\nu}\Lambda_{\ \beta}^{\mu}x^{\alpha}x^{\beta}$$ т.е. матрица $\Lambda$должен удовлетворить

$$\eta_{\alpha\beta}=\eta_{\mu\nu}\Lambda_{\ \alpha}^{\nu}\Lambda_{\ \beta}^{\mu} \qquad (1)$$

Затем, используя (1),

$$F_{\mu\nu}=\eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}F^{\alpha\beta}$$ и $$F'^{\mu\nu}=\Lambda_{\ \sigma}^{\mu}\Lambda_{\ \rho}^{\nu}F^{\sigma\rho}$$ мы собираемся показать, что $F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu}=F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$(здесь порядок не имеет значения из-за $F^{\mu\nu}$на самом деле скаляр, $\mu,\nu$компонент матрицы $F$). Хорошо, тогда у нас есть это $$F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu}=F'^{\mu\nu}\eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}F'^{\alpha\beta}$$ $$=\Lambda_{\ \delta}^{\mu}\Lambda_{\ \varepsilon}^{\nu}F^{\delta\varepsilon}\eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}\Lambda_{\ \sigma}^{\alpha}\Lambda_{\ \rho}^{\beta}F^{\sigma\rho}$$ $$=\left(\Lambda_{\ \delta}^{\mu}\Lambda_{\ \sigma}^{\alpha}\eta_{\mu\alpha}\right)\left(\Lambda_{\ \varepsilon}^{\nu}\Lambda_{\ \rho}^{\beta}\eta_{\nu\beta}\right)F^{\delta\varepsilon}F^{\sigma\rho}$$ $$\equiv\eta_{\delta\rho}\eta_{\varepsilon\sigma}F^{\delta\varepsilon}F^{\sigma\rho}\equiv F^{\delta\varepsilon}F_{\delta\varepsilon}$$ Так $$F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu}= F^{\delta\varepsilon}F_{\delta\varepsilon}$$

Здесь индексы фиктивные (они суммируются), поэтому они не должны совпадать. Итак, в заключение количество$F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}$(или$F{}_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$) если измерять в любой инерциальной системе отсчета, то она будет иметь то же значение, т. е. является инвариантом Лоренца.

Наконец, я запишу часть расчета$F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$с точки зрения электромагнитных полей, но, возможно, позже. Вы знаете, из-за времени. Но! Вы должны прочитать этот вопрос, я задал несколько месяцев назад то же самое, и вот ответ. Конечно, если у вас есть вопросы, задавайте их нам.

Нажмите здесь: Расчет электромагнитного инварианта в матричной форме

$${\displaystyle{ F^{\mu \nu }=\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _{\mu \alpha }F^{\alpha \beta }\eta _{\beta \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$$ $$F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2 \left[ {\vec E} {}^2 -\vec B{}^2 \right]$$