Тензоры в физике

Один из моих профессоров в Корнелле сказал мне, возможно, под влиянием Энтони Зи, что определение тензора в физике таково:

Тензор — это все, что преобразуется подобно тензору.

Весь наш класс смеялся, что его раздражало, потому что, как он продолжил, это не совсем круглая форма. Когда вы знаете, как один вектор поворачивается при преобразовании координат (например, вектор положения!), у вас есть эти матрицы изменения координат, а тензор соответствующего ранга — это все, компоненты которого преобразуются с соответствующей комбинацией матриц изменения координат. Таким образом, «преобразуется как тензор» — это внешнее определение, а не внутреннее.

Скаляр — это (0, 0)-тензор: это любое число (на самом деле, любое присвоение чисел точкам на многообразии — обычно мы имеем в виду скалярные «поля»), которое не изменяется при преобразовании координат.

В вашем случае, поскольку вы, по-видимому, «пропустили»$i=0$компонент, вам, вероятно, следует проверить некоторые простые$A^i$и$\partial_i$будь то$i=0$компонент имеет значение. Вы можете обнаружить, что$A^0 = \text{constant}$относительно времени, и тогда выяснится, что ваше выражение действительно является скалярным полем всякий раз, когда$A^\mu$является векторным полем.

Тензоры в геометрии

Как вы понимаете, приведенное выше выражение, основанное на координатах, совершенно не подходит для математической профессии дифференциальной геометрии. Существует отличная нотация, называемая абстрактной индексной нотацией , которая решает ее ориентированные на координаты проблемы.

Видите ли, определение физики — это «черный список»: оно гласит: «Делай, что хочешь, и потом ты узнаешь, тензор это или нет, по тому, как он ведет себя, когда мы меняем наши координаты». Напротив, геометрические определения представляют собой «белый список»: они говорят: «Мы начнем с хороших объектов и хороших операций, и тогда все, что мы создадим, будет хорошим».

По сути, мы определяем набор функций$\mathcal A \subseteq (\mathcal M \to \mathbb R)$как «скалярные поля», где$\mathcal M$это любое пространство, которое нас интересует.$\mathbb R^n$простой выбор - гладкие поля$\mathcal A = C^\infty(\mathcal M, \mathbb R)$. Тогда выводы по$\mathcal A$образуют векторное пространство (обычно вы пишете$v^\alpha \partial_\alpha$для вывода), и мы постулируем метрику, которая делает векторное пространство изоморфным своему двойственному. С помощью метрического тензора и антисимметричного тензора мы обычно можем построить все другие интересующие нас объекты — например, тензорные поля.

Затем вы можете снова вставить эти координаты, когда они вам понадобятся, пометив их по-разному (это может быть заглавная буква или полужирный шрифт, или подчеркивание, или штрихи/точки, или переключение на/с греческих букв...). Итак, вы используете что-то вроде ковекторов$c^a_\alpha$,$a \in \{0, 1, \dots n-1\}$, чтобы превратить некоторые$v^\alpha$(вектор) в его$n$компоненты$c^{a}_\alpha v^\alpha$.

В такого рода исчислении, если вы частично ограничиваете (в некоторых координатах)

$$\phi = \sum_{a \in A} \partial_{a} A^{a}$$ и, таким образом, прийти к гладкой функции от $\mathcal M \to \mathbb R$, то поскольку эта гладкая функция находится в $\mathcal A$, это, очевидно, скалярное поле , и каждый может согласиться с его существованием и свойствами: однако кто-то другой с другими координатами $v^{\bar a} = \bar c_\alpha^{\bar a} v^a$не обязательно согласится с тем, что его можно представить как $\sum_{\bar a \in A'} \partial_{\bar a} A^{\bar a}$для любого набора $A'$.

Или, наоборот, в искривленных многообразиях есть нетензоры, называемые символами Кристоффеля, которые действительно полезны в общей теории относительности; вы можете использовать этот подход, чтобы превратить символ Кристоффеля любой системы отсчета в тензор. Однако: не все системы отсчета согласятся с тем, что полученный тензор Кристоффеля имеет какое-либо отношение к их собственным символам Кристоффеля; это не «тензор Кристоффеля», а скорее «тензор Кристоффеля», полученный из этого конкретного контекста. Точно так же в специальной теории относительности, когда мы берем 4-скорость, мы однозначно указываем систему отсчета, в которой$dt$время измеряется в собственной системе отсчета частицы, так что это «собственное время»$d\tau$. Полученное понятие действительно является (1,0)-тензором, потому что мы явно указали систему отсчета, из которой мы крадем временную координату.

Это не так сложно: скаляр — это просто число, а скаляр Лоренца — это скаляр, инвариантный относительно преобразований Лоренца. Например, расстояние — это скаляр, но не скаляр Лоренца, а собственный временной интервал — это скаляр и скаляр Лоренца.

Чтобы узнать, является ли что-то скаляром Лоренца, мы просто проверяем, как оно преобразуется при преобразовании Лоренца. Для вашего примера:

$$\partial_i A^{i} \rightarrow \partial'_i A'^{i} = \rightarrow \Lambda_i{}^j \partial_j \Lambda^{i}{}_k A^{k} = \Lambda_i{}^j \Lambda^{i}{}_k \partial_j A^{k} = \delta^j{}_k \partial_j A^{k} = \partial_j A^{j}$$

и на самом деле все скалярные произведения коварианта и контравариантного вектора лоренц-инвариантны. Чтобы увидеть, что это скаляр, просто напишите$\partial_i A^{i}$в его компонентах.

Объяснение того, что такое тензор, смотрите здесь . Тогда тензор Лоренца - это тензор, который преобразуется как тензор при преобразованиях Лоренца:

$$T^{\mu_1\dots\mu_n}{}_{\nu_1\dots\nu_m}\rightarrow T'^{\mu_1\dots\mu_n}{}_{\nu_1\dots\nu_m} = \Lambda^{\mu_1}{}_{\lambda_1}\dots\Lambda^{\mu_n}{}_{\lambda_n} \Lambda_{\nu_1}{}^{\sigma_1}\dots\Lambda_{\nu_m}{}^{\sigma_m} T^{\lambda_1\dots\lambda_n}{}_{\sigma_1\dots\sigma_m}$$

надеюсь это поможет.

Я изо всех сил пытаюсь определить, является ли скаляр скаляром Лоренца. Например: ∂iAii∈1,2,3. Как определить, является ли это скаляром Лоренца или нет? Если есть такая же проблема с тензорами. Как отличить тензор от тензора Лоренца?

Под «тензором» вы подразумеваете тензор в трех пространственных измерениях? Если это так, то тензор никогда не будет тензором Лоренца. Тензор Лоренца требует, чтобы четвертые компоненты были включены в любую сумму, чтобы получить тензор более низкого ранга.