Теорема Ходжа: Хокинг/Эллис

Моим любимым справочником по такого рода вещам, которые охватывают физику и геометрию, является «Геометрия физики» Франкеля. В главе о гармонических формах вы найдете то, что он называет просто «теоремой Ходжа». Это немного более общее, чем вам нужно, потому что оно относится к общему$p$-forms, а вам нужны только функции ($0$-формы). Так что я буду специализироваться на функциях.

---

Теорема Ходжа (для функций): пусть$M^n$— замкнутое риманово многообразие. Тогда уравнение Пуассона

$$\begin{equation} \Delta \alpha = \rho \tag{A} \end{equation}$$ (куда$\alpha$а также$\rho$являются вещественными функциями, и$\Delta$является лапласианом) имеет решение$\alpha$если и только если$\rho$имеет среднее значение$0$на$M^n$: $$\begin{equation} \int_M \rho\ \mathrm{vol}^n = 0. \tag{B} \end{equation}$$

---

Теперь, чтобы перевести между обозначениями Франкеля и Хокинга и Эллиса, мы должны заменить ^†

$$\begin{align} M &\leftrightarrow \partial \mathscr{B}, \\ \alpha &\leftrightarrow y, \\ \rho &\leftrightarrow \mathrm{const} - \left( p_{b ; d} \hat{h}^{bd} - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right). \\ \end{align}$$ Также обратите внимание, что Хокинг и Эллис используют более явное обозначение лапласиана, так что $$\begin{equation} \Delta y \leftrightarrow y_{;bd} \hat{h}^{bd}. \end{equation}$$ Теперь, подставив эти переводы, мы можем переписать уравнение Пуассона [уравнение. (А)] как $$\begin{equation} y_{;bd} \hat{h}^{bd} = \mathrm{const} - \left( p_{b ; d} \hat{h}^{bd} - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right). \tag{A'} \end{equation}$$ Итак, теорема Ходжа говорит нам, что можно найти функцию$y$удовлетворяющее этому уравнению тогда и только тогда, когда интеграл от правой части уравнения (А') более$\partial \mathscr{B}$равен нулю.

В качестве альтернативы мы могли бы переписать уравнение (B) и сказать, что функция$y$существует для решения уравнения (А') тогда и только тогда, когда

$$\begin{equation} \int_{\partial \mathscr{B}} \mathrm{const}\ \mathrm{vol}^n = \int_{\partial \mathscr{B}} \left( p_{b ; d} \hat{h}^{bd} - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right)\ \mathrm{vol}^n. \tag{B'} \end{equation}$$ Но мы можем настроить значение "$\mathrm{const}$", так что мы можем просто установить его на то, что нам нужно, чтобы сделать это уравнение верным.

Хокинг и Эллис отмечают, что$p_{b ; d} \hat{h}^{bd}$является чистой дивергенцией. Таким образом, вы можете использовать теорему Стокса, чтобы преобразовать его интеграл по$\partial \mathscr{B}$в интеграл по границе$\partial \mathscr{B}$. Но граница границы всегда пуста, ^†† так что интеграл имеет значение$0$. Следовательно, этот член исчезает, когда вы выполняете интеграл в правой части уравнения. (Б'). Итак, теперь теорема утверждает, что решение для$y$существует тогда и только тогда, когда

$$\begin{equation} \mathrm{const}\ \int_{\partial \mathscr{B}} \mathrm{vol}^n = \int_{\partial \mathscr{B}} \left( - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right)\ \mathrm{vol}^n. \end{equation}$$ Интеграл в левой части — это как раз площадь$\partial \mathscr{B}$, а Хокинг и Эллис также оставляют форму объема неявной, поэтому мы можем переписать это как $$\begin{equation} \mathrm{const} = \frac{\int_{\partial \mathscr{B}} \left( - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right)} {\mathrm{Area}}. \tag{C} \end{equation}$$ Площадь предполагается конечной, отличной от нуля и обязательно неотрицательной, поэтому, как утверждали Хокинг и Эллис, знак константы действительно определяется этим интегралом.

Итак, классный по математике способ сформулировать вывод был бы таким:$p_a$,$Y_1^b$,$Y_2^c$,$R_{ijkl}$, а также$\hat{h}^{mn}$, можно выбрать постоянную [данную уравнением. (C)] такая, что существует функция$y$который решает уравнение. (А'). Хокинг и Эллис меняют акценты в соответствии со своими целями, но утверждение также верно: существует$y$так что первые четыре члена в исходном вопросе Eq. (1) складываются в константу, знак которой определяется интегралом в правой части уравнения (1). (С).

---

^† Обратите внимание, что я не учел$p'^a p'_a$член в уравнении (1) из исходного вопроса; этот термин включает производные от$y$кроме лапласиана, поэтому теорема Ходжа к ним неприменима. Но также обратите внимание, что Хокинг и Эллис на самом деле не утверждают, что это должно быть включено в то, что равно константе. Так что здесь это не совсем актуально.

^†† Для пояснения: граница границы всегда пуста при работе с многообразиями . Это не относится к более общим топологическим пространствам, потому что в этих условиях слово «граница» означает нечто иное .