Укусы в петлевом пространстве времениподобных кривых

В статье Смита о гомотопических группах для многообразий Лоренца он строит пространство петель всех времяподобных петель следующим образом:

• Рассмотрим все кусочно-непрерывные времениподобные кривые, которые начинаются и заканчиваются в точке$x$. Это включает времениподобные кривые с$q$изменения временной ориентации (касательный вектор конца одного отрезка имеет противоположную временную ориентацию по отношению к началу следующего)
• Также включите в группу укусы, основанные на$x$, которые сделаны из произвольных путей$\gamma$следующим образом: жало — это кривая вида$\gamma \ast \gamma^{-1}$, с$\gamma(0) = x$.
• Включите вставки жал на пути. Для пути$\gamma$, рассмотрим точку$y$в$\gamma$, и разложить его на два пути$\gamma = \gamma_+ \ast \gamma_-$, с$\gamma_+(1) = y$. Введение жала$f \ast f^{-1}$в$y$является$\gamma^* = \gamma_+\ast f\ast f^{-1} \ast \gamma_-$.
• Постоянный путь также включен в него,$e(\lambda) = x$

Затем пространство петли определяется всеми этими элементами, а композиция пути$\ast$имеет групповую структуру.

Мотивация для включения приведенных укусов, по-видимому, заключается в том, что они допускают групповую структуру (хотя это также не указано четко), но это не кажется правильным, поскольку для этого достаточно постоянного пути и времениподобных кривых. Какова цель добавления укусов в пространство цикла? Все задействованные кривые в любом случае будут эквивалентны кривой без жала.