Теорема Лиувилля для пространства-времени

Question

Теорема Лиувилля для пространства-времени

несколько

Теорема Лиувилля утверждает, что плотность фазового пространства определяет уравнение неразрывности.

\frac{\partial р}{\partial т} + \sum_{я "=" 1}^{н} (\frac{\partial (р \dot{д_{я}})}{\partial д_{я}} + \frac{\partial (р \dot{п_{я}})}{\partial п_{я}}) "=" 0

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\Big(\frac{\partial(\rho\dot{q_i})}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p_i})}{\partial p_i}\Big)=0$ Это означает, что количество состояний в вашей статистической системе сохраняется во времени.

Мой вопрос в том, есть ли аналогичная структура плотности пространства-времени? $\sqrt{-g}$ ? Сохраняется ли объем пространства-времени? Если вы хотите думать о геометрии пространства-времени как о физической, я чувствую, что должно быть что-то, что можно было бы интерпретировать как уравнение непрерывности для плотности пространства-времени. $\sqrt{-g}$ , пространственно-временные события не должны исчезать без причины!

Возможно, уравнение непрерывности будет выглядеть примерно так:

(\sqrt{- г} \frac{г {Икс}^{мю}}{г т})_{; мю} "=" 0

$\big(\sqrt{-g}\frac{dx^\mu}{d\tau}\big)_{;\mu}=0$ Где

x^{μ}

$x^\mu$ каким-то образом отслеживает эволюцию пространственно-временного события. Я не могу найти никаких результатов такого рода в учебнике по общей теории относительности, хотя это кажется мне таким важным вопросом. Что, если это уравнение не равно нулю? Что делает его ненулевым? Наличие материи?

Изменить: теперь я понимаю, что для правильного определения этого уравнения непрерывности необходимо использовать индуцированную метрику $h_{\mu\nu}$ набора пространственно-подобных поверхностей со временем, подобным нормальному вектору $n$ для каждой поверхности, и тогда уравнение будет выглядеть примерно так:

(\sqrt{час} \frac{г {Икс}^{мю}}{г н})_{; мю} "=" 0

$\big(\sqrt{h}\frac{dx^\mu}{dn}\big)_{;\mu}=0$ The

x^{μ}

$x^{\mu}$ должны быть геодезическими полного пространства-времени с начальными скоростями, нормальными к одной из этих пространственно-подобных поверхностей. Каждой точке этой поверхности соответствует геодезическая, поэтому

x^{μ}

$x^{\mu}$ зависит от расположения на поверхности.

Qмеханик

Теоремы Лиувилля для общего пространства-времени не существует. Подумайте, например, о гравитационном линзировании или уравнении геодезического отклонения .

несколько

Гравитационное линзирование происходит в присутствии материи, верно? Поскольку плотность пространства-времени не эквивалентна кривизне, может случиться так, что в материи происходит потеря пространственно-временных событий, а кривизна создается вне материи, чтобы компенсировать отсутствие единообразия пространственно-временных событий. Прошу прощения за такую неточность, я не до конца освоил ОТО или дифференциальную геометрию.

Ответы (1)

Теорема Лиувилля для пространства-времени

Теоремы Лиувилля для общего пространства-времени не существует. Подумайте, например, о гравитационном линзировании или уравнении геодезического отклонения .
Гравитационное линзирование происходит в присутствии материи, верно? Поскольку плотность пространства-времени не эквивалентна кривизне, может случиться так, что в материи происходит потеря пространственно-временных событий, а кривизна создается вне материи, чтобы компенсировать отсутствие единообразия пространственно-временных событий. Прошу прощения за такую неточность, я не до конца освоил ОТО или дифференциальную геометрию.

ДжамалС · Answer 1

Для общего риманова или псевдориманова многообразия с метрикой $g$ , ковариантная производная со связностью Леви-Чивита удовлетворяет,

\nabla_{мю} \sqrt{| г |} "=" 0

$\nabla_\mu \sqrt{|g|} = 0$

где $g = \det g_{\lambda\sigma}$ . Это можно доказать из условия совместимости метрик, $\nabla_\mu g_{\lambda\sigma} = 0$ что обеспечивает соединение Levi-Civita. В частности, это очевидно при выражении определителя в виде

г "=" \frac{1}{4!} ϵ^{α β γ дельта} ϵ^{мю ν λ о} г_{α мю} г_{β ν} г_{γ λ} г_{дельта о} .

$g = \frac{1}{4!}\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma}g_{\alpha\mu}g_{\beta \nu}g_{\gamma\lambda}g_{\delta\sigma}.$

Обращение в нуль элемента объема при ковариантном дифференцировании полезно при манипуляциях с тензорными плотностями, поскольку они строятся с множителями $\sqrt{|g|}$ .

Однако на самом деле это не физический факт, а просто следствие дифференциальной геометрии. Если мы примем ваше предложение,

\nabla_{мю} ({\dot{Икс}}^{мю} \sqrt{| г |}) "=" 0

$\nabla_\mu(\dot x^\mu \sqrt{|g|}) = 0$

с $\nabla_\mu \sqrt{|g|} = 0$ , ваше предложение эквивалентно, $\nabla_\mu \dot x^\mu = 0$ .

Теорема Лиувилля для пространства-времени

несколько

Qмеханик

несколько

Ответы (1)

ДжамалС

Насколько гравитация вызвана замедлением времени?

Есть ли доказательства того, что гравитация искривляет пространство, или это просто самое удобное объяснение? [дубликат]

Демонстрация общей теории относительности

Как именно искривленное пространство-время описывает силу гравитации?

Если нет гравитации, то почему пространство искривляется вокруг Земли?

Верно ли представление об общей теории относительности в этом видео? [дубликат]

Создает ли объект гравитационные волны, если он ускоряется только в одном направлении?

Гравитоны не затронуты гравитационным линзированием?

Простой способ измерить форму искривленного пространства-времени

Если гравитация — это изгиб Пространства-времени, то что такое магнетизм?