Теорема Нётер и сохранение импульса

Итак, как мы все знаем, для системы с трансляционной симметрией теорема Нётер утверждает, что импульс сохраняется, точнее, теорема утверждает, что величина:

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$$ так что общий импульс сохраняется. Здесь у меня есть проблема: предположим, я хочу показать этот классический импульс$p=mv$сохраняется в системе с трансляционной симметрией (также, конечно, потенциальная энергия в лагранжиане не зависит от скорости), тогда я имею: $$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial K}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial}{\partial \dot{x}}\frac{1}{2}m\dot{x}^2=m\dot{x}.$$ Идеальный! Но предположим, что я хочу использовать параметризацию для своей системы, поэтому: $$x(t)=\Gamma(q(t))$$ как мы обычно делаем в лагранжевой механике, то сохраняющаяся величина по-прежнему равна: $$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}.$$ На самом деле теорема Нётер утверждает, что обобщенный импульс сохраняется, и это по определению является обобщенным импульсом. Ну тогда у меня: $$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\frac{\partial}{\partial \dot{q}}\frac{1}{2}m\dot{q}^2|\Gamma ' (q)|^2=m\dot{q}|\Gamma ' (q)|^2=mv|\Gamma ' (q)|.$$ Что это за хрень?? Кроме того, если я выберу$\Gamma$для представления строки со следующей параметризацией: $$\Gamma = \begin{bmatrix}kq \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}.$$ Я получил: $$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=mv|k|$$ поэтому сохраняемое количество зависит от параметризации??? Теперь: я, конечно, знаю, что где-то ошибся; может быть, в содержании теоремы Нётер (даже если я взял содержание этой теоремы прямо из моей книги по лагранжевой механике) или, может быть, где-то еще. Мои вопросы:

1. Почему я получаю этот результат?
2. Как я могу показать этот импульс$p=mv$сохраняется для симметрично трансляционной системы с использованием теоремы Нётер и любой параметризации$\Gamma$Я хочу?
3. Верно ли, что обобщенный импульс сохраняется для любой симметрично поступательной системы?
4. Когда сохранение обобщенного импульса подразумевает сохранение классического импульса?

Это моя проблема; надеюсь, вы можете мне помочь. Пожалуйста, попробуйте дать мне полный ответ, эта проблема меня очень беспокоит.