Канонический и нётеровский импульс для продольных волн на одномерной цепочке

Рассмотреть возможность$\phi:x\rightarrow R$, чтобы быть зависимой от времени картой из пространства положений, помеченного$x$или же$i$к одномерной реальной линии, которую я назову «целевым пространством». Поскольку вы говорите о периодических граничных условиях$\phi$прослеживает петлю в целевом пространстве, когда вы меняете$x$(это петля, встроенная в 1 измерение, поэтому она повторяет свой путь).

Эта петля локализована в целевом пространстве. Вы можете определить "центр масс" в среднем положении$\phi_0$. Тогда есть две трансляционные симметрии. Вы можете сместить$\phi\rightarrow \phi+a$который смещает положение в целевом пространстве. Сопряженный импульс$\Pi$— импульс центра масс в целевом пространстве, и, как вы видели, вы можете определить операцию наддува на$\Pi$.

Другая симметрия транслируется в$x$или же$i$пространство. Как отмечалось в комментариях, эта симметрия также существует в дискретной модели и не имеет ничего общего с континуальным пределом. Сопряженный импульс$P$описывает поток энергии вокруг контура при фиксированном центре масс в целевом пространстве.

Существует еще одна скрытая сохраняемая величина, если$\phi$считается отображающим компактное целевое пространство, такое как круг, вместо реальной линии (т.е.$\phi$угловая координата). Затем петля может полностью обернуться вокруг целевого пространства, прежде чем вернется в исходную точку, а количество витков$m$сохраняется во времени вместе с$\Pi$а также$P$.

Как вы могли догадаться, это имеет отношение к теории струн. Поля как$\phi$описать координаты в целевом пространстве и две координаты$x$а также$t$эти точки-метки вдоль петли строки называются координатами «мирового листа».

Назад к продольным рессорам

Мне пришло в голову, что вам может понадобиться более приземленное объяснение с точки зрения продольных пружин. Здесь есть особенность в том смысле, что положение цели в пространстве$\phi$кажется, существует в том же месте, что и внутренняя позиция листа слов$x$. Но обратите внимание, что вы используете периодические граничные условия, чтобы сказать, что он трансляционно инвариантен по x. Фактически существует пружина, соединяющая правый и левый конечные точки в нашем$x$label, чтобы эти две конечные точки хотели быть близко друг к другу, и вся система образовывала петлю, как я описал выше. Так$P$по-прежнему описывает поток внутренней энергии вдоль цепочки пружин.

И обратите внимание, что ваш вывод лагранжиана все еще действителен в усиленной раме, где все пружины движутся с одинаковой скоростью вперед, поэтому$\Pi$по-прежнему описывает импульс центра масс всей системы в отличие от потока внутренней энергии вокруг петли.

Если вы уплотните свой общий$\phi$положение с периодическими граничными условиями, то можно говорить и о сохраняющемся числе витков$m$как я упоминал выше. Но обратите внимание, что эти периодические граничные условия отличаются от периодических граничных условий в$x$что означает добавление дополнительной пружины между конечными точками.

На самом деле существовал эквивалент трансляционной симметрии$\phi(x)\rightarrow \phi(x+a)$в дискретном случае, но это была дискретная симметрия$\phi_i\rightarrow \phi_{i+n}$, который по этой причине не имел нётеровского тока.

В теории есть неясность в описании: и то, и другое$x$а также$\phi(x)$кажется, представляют позицию вдоль строки. Это наиболее очевидная причина неоднозначности двух симметрий. Эта неоднозначность не так серьезна в дискретном случае, но, как вы обнаружили, она становится проблематичной в непрерывном пределе. Ради устранения этой двусмысленности я собираюсь предположить, что$\phi(x)$представляет собой поперечное смещение, а не продольное смещение.

Другая симметрия$\phi(x)\rightarrow \phi(x)+a$на самом деле это не трансляционная симметрия, а общая константа, почти как калибровочная симметрия, за исключением того, что это глобальная симметрия, а не локальная симметрия. В контексте вибрации струны это преобразование соответствует постоянному поперечному смещению струны, а не продольному перемещению. (Хорошо, возможно, это можно интерпретировать как трансляционную симметрию в поперечном направлении.) Это происходит потому, что поля не имеют массы; нет массового термина. Если бы вы добавили массовый член, эта симметрия исчезла бы. Такой массовый член оштрафовал бы поперечные смещения.

Если я могу попытаться интерпретировать то, что$\Pi$означает, что в контексте модели, которую вы исследуете (но с поперечными смещениями), я бы сказал, что это похоже на чистую поперечную скорость. Сопряженная переменная$\pi=\dot{\phi}$видимо поперечная скорость. Интегрированная по всей системе, она становится чистой поперечной скоростью. В случае безмассовой струны эта результирующая поперечная скорость становится сохраняющейся величиной. Интересно. Имеет смысл, если рассматривать это преобразование как поперечный перенос.

ответ флиппифануса абсолютно правильный. Чтобы добавить к этому, момент, который часто упускается из виду при обсуждении теории поля, заключается в том, что крайне важно тщательно различать внутренние преобразования/симметрии и пространственные преобразования/симметрии. Строго говоря, поле — это отображение пространственно-временного многообразия M в пространство полей F, а два пространства$M$а также$F$совершенно не связаны. Это различие имеет решающее значение для понимания теоремы Коулмана-Мандулы и ее различных лазеек. См. здесь еще один пример, в котором различие важно.

Для системы пружин, движущихся в продольном направлении, пространственно-временной коллектор$M$представляет собой дискретный набор точек, в которых лежат концы пружин, когда все они расслаблены. Полевое пространство представляет собой небольшой интервал$[-d\varphi, d\varphi]$над которым они колеблются относительно своих положений покоя. Пока амплитуда колебаний намного меньше длины пружины, нет никакой двусмысленности в отношении того, в каком «месте покоя» находится каждая масса. Но когда они становятся сравнимыми, координата$x$и значение поля$\varphi(x)$становятся неоднозначно взаимосвязанными, поэтому континуальный предел не определен четко. Строго говоря, вам нужно выбрать правильный порядок пределов континуума, где$d\varphi \to 0$намного быстрее, чем длины пружин. Другими словами,$d \varphi \ll dx$, или же$d \varphi/dx$является «маленьким» в соответствующих единицах. Это обычное утверждение, что континуальные поля имеют смысл только тогда, когда они очень медленно меняются.

TLDR: в общем, вы не можете принять предел наивного континуума для системы связанных пружин, колеблющихся в продольном направлении, хотя для пружин, колеблющихся в поперечном направлении, все в порядке. (Поэтому для интуиции лучше всегда визуализировать поперечные колебания, чтобы эта тонкость не сбила вас с толку.) Чтобы получить четко определенную теорию поля, вам нужно однозначно различать «внутреннюю/полевую» и «пространственную» степени свободы на микроскопическом уровне.