Доказательство того, что заряд Нётер порождает симметрии в лагранжевом формализме

Я знаю, что подобные вопросы уже задавались на этом сайте, но я не смог найти ответ на свой конкретный вопрос.

Я хочу показать, что заряд Нётер, определенный в лагранжевом формализме, порождает соответствующие симметрии. Точнее:

Предположим, что у нас есть лагранжиан$L(q(t),\dot q(t))$. Предположим, что при бесконечно малом преобразовании

$$\delta q(t) = \eta(q(t),\dot q(t),t), \ \delta \dot q (t) = \frac{d}{dt}\eta(q(t),\dot q(t),t)\tag{1}$$ изменение лагранжиана задается как: $$\delta L = \frac{d}{dt}K(q(t),\dot q(t),t)\tag{2}$$ Тогда заряд Нётер $Q(q(t),\dot q(t),t)$определяется: $$Q(q(t),\dot q(t),t) := \frac{\partial}{\partial \dot q(t)}L(q(t),\dot q(t))\ \eta(q(t),\dot q(t),t) - K(q(t),\dot q(t),t)\tag{3}$$ Утверждение состоит в том, что если определить канонический импульс как $p(q,\dot q)= \frac{\partial}{\partial \dot q}L(q,\dot q)$: $$\delta q(t) = \left(\frac{\partial}{\partial p(t)}Q(q(t),\dot q(t),t)\right)_{q(t)},\qquad \delta p(t) = -\left(\frac{\partial}{\partial q(t)}Q(q(t),\dot q(t),t)\right)_{p(t)}\tag{4}$$ Мне удалось вывести первое из приведенных выше соотношений следующим образом. От, $$\delta L = \frac{\partial}{\partial q}L \delta q(t) + p(t) \delta \dot q(t)\tag{5},$$ интегрируя по частям, получаем: $$\frac{d}{dt}Q = \delta q \left(\dot p - \frac{\partial}{\partial q}L \right) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \ \ =\delta q \left(\frac{\partial p}{\partial q}\dot q + \frac{\partial p}{\partial \dot q}\ddot q - \frac{\partial}{\partial q}L \right) \\ \quad \quad \quad \ = \frac{\partial Q}{\partial t} + \frac{\partial Q}{\partial q}\dot q + \frac{\partial Q}{\partial \dot q}\ddot q\tag{6}$$ Приравнивая члены, пропорциональные $\ddot q$, мы получаем: $$\frac{\partial Q}{\partial \dot q} = \left( \frac{\partial p}{\partial \dot q} \right)_{q} \delta q \tag{7}$$ Затем: $$\left(\frac{\partial Q}{\partial p}\right)_{q} = \frac{\partial Q}{\partial \dot q} \left(\frac{\partial \dot q}{\partial p}\right)_q = \left( \frac{\partial p}{\partial \dot q} \right)_{q} \left(\frac{\partial \dot q}{\partial p}\right)_q \delta q = \delta q\tag{8}$$ Мой вопрос в том, как мы можем показать, что $$\delta p(t) = -\left(\frac{\partial}{\partial q(t)}Q(q(t),\dot q(t),t)\right)_{p(t)}\tag{9}$$

ОБНОВЛЯТЬ

Кажется, что необходимо принять уравнения движения, чтобы получить вышеуказанное тождество. Рассмотрим тождество (полученное после удаления членов, включающих$\ddot q$в$\frac{dQ}{dt} = \cdots$):

$$\delta q \left(\frac{\partial p}{\partial q}\dot q - \frac{\partial}{\partial q}L \right) = \frac{\partial Q}{\partial t} + \frac{\partial Q}{\partial q}\dot q \tag{10}$$ Теперь возьмем частную производную по $\dot q$, и использовать коммутативность частных производных и тождество, найденное выше для $\frac{\partial Q}{\partial \dot q}$чтобы получить: $$\frac{\partial Q}{\partial q} = \left(\dot q \partial_q p - \partial_q L \right)\partial_{\dot q}\delta q - \partial_t \delta q\partial_{\dot q} p - \dot q\partial_{\dot q}p \partial_q \delta q \tag{11}$$ Теперь, используя $$\left(\frac{\partial}{\partial q}\right)_p = \frac{\partial}{\partial q} + \left(\frac{\partial \dot q}{\partial q}\right)_p\tag{12}$$ и $$\left(\frac{\partial \dot q}{\partial q}\right)_p = -\frac{\partial_{q}p}{\partial_{\dot q} p}\tag{13}$$ мы нашли: $$\left(\frac{\partial Q}{\partial q}\right)_p = - \partial_q p \delta q - \partial_{\dot q}p \left(\dot q\partial_q \delta q + \partial_t \delta q \right) + \left(\dot q \partial_q p - \partial_q L \right) \tag{14}$$ Если мы примем уравнения движения, то есть: $$\partial_q L = \frac{d}{dt}p = \dot q \partial_q p + \ddot q \partial_{\dot q} p\tag{15}$$ Мы получаем: $$\left(\frac{\partial Q}{\partial q}\right)_p = - \partial_q p \delta q - \partial_{\dot q}p \left(\ddot q \partial_{\dot q} \delta q + \dot q\partial_q \delta q + \partial_t \delta q \right) = -\delta p \tag{16}$$ Однако я не вижу физического смысла этого предположения.