Недавно я пытался разобраться в использовании термина «топологический» в различных областях физики и понять, что это значит в контексте. Все это сводится к моему главному вопросу — если использование топологии указывает на работу в общем топологическом пространстве — имеет ли смысл не иметь метрики в физике? Конкретный и самый важный пример, который я пытаюсь понять, — это топологическая квантовая теория поля . Мне интересно, как эта формулировка КТП работает без метрик и как можно понять, что это возможно в физическом контексте.
Извиняюсь, если вопрос несколько расплывчатый, так как это отражает мое понимание этой темы на данный момент, но любое очень общее понимание будет высоко оценено.
«Топологический» в «топологическом порядке» и «топологический» в «топологическом изоляторе» имеют разные значения.
«Топологический» в топологическом порядке означает «устойчивый к ЛЮБЫМ локальным возмущениям».
«Топологический» в «топологическом изоляторе» означает «устойчивый к некоторым локальным возмущениям, которые соблюдают определенную симметрию». На самом деле свойства порядка нарушения симметрии также «устойчивы к некоторым локальным возмущениям, которые соблюдают симметрию». В этом смысле мы также можем называть порядок нарушения симметрии «топологическим» (в том же смысле мы называем топологический изолятор «топологическим»).
В математике есть два вида топологии. «Топология» в «топологическом порядке» напрямую связана с топологией первого типа в математике, такой как алгебраическая топология, гомологии, когомологии, тензорная категория и топологическая квантовая теория поля. «Топология» в «топологическом изоляторе» связана со вторым типом топологии в математике, например, с классом отображения, гомотопией, К-теорией и т. д. Первый вид топологии является алгебраическим, а второй вид топологии связан с непрерывное многообразие конечных размеров. Можно также сказать, что топология первого типа является «квантовой», а топология второго типа — «классической».
См. Согласование топологических изоляторов и топологического порядка .