Отличается ли классификация (защищенного симметрии) топологического порядка для трехполосных моделей от двухполосных?

Это хороший вопрос. Да, теория классификации будет другой, но ответ будет намного, намного сложнее, чем Десятикратный Путь. Существуют математические модели (например, K-теоретическая структура Фрида и Мура), которые достаточно мощны, чтобы исследовать вопрос, который у вас есть, но имейте в виду, что вы задаете сложный вопрос.

Следуя настоянию Рубена (он прокомментировал ваш вопрос выше) и тому факту, что я недавно успешно применил аналогичные идеи для изучения вырождений зонной структуры в кристаллических телах (см. здесь https://arxiv.org/abs/1808.07469), позвольте мне, пожалуй , сделать некоторые мысли/комментарии по вашим вопросам (хотя я и не отвечаю на ваши вопросы как таковые ).

Во-первых, гомотопические группы, о которых вы просите, найти относительно легко. Все, что вам нужно, это то, что для смежного пространства (или расслоения)$B = E/F$существует длинная точная последовательность гомотопических групп

Что касается вашего примера, допустим, вы хотите знать первую и вторую гомотопическую группу

Чтобы найти его, сначала не то, что вторая гомотопическая группа

Соответствующий отрезок длинной точной последовательности, начинающийся с$\pi_2(E)$и заканчивая$\pi_0(E)$, приводит к

Что такое понимание физики? Каждый из$N_i$-плеты лент несет целое число Черна. Однако сумма всех чисел Черна должна быть равна нулю, поэтому только$\ell-1$числа Черна независимы.

Последствия для узлов ленточной структуры в трехмерной зоне Бриоллюэна (ЗБ) будут следующими. $\ell$ $N_i$-плеты полос разделены$\ell-1$полосы пропускания. $\ell-1$целые заряды на некоторой сфере$S^2 \subset \textrm{BZ}$, соответствующий второй гомотопической группе$\pi_2(...) = \mathbb{Z}^{\ell-1}$, просто укажите общую киральность точек Вейля, образованных внутри каждой из этих запрещенных зон, которые содержатся внутри$S^2$.

Во-вторых, позвольте мне прокомментировать смысл таких топологических зарядов. В десятикратной классификации рассматривается так называемый стабильный предел гомотопических групп. Существует хорошая физическая мотивация для рассмотрения стабильного предела, но такой предел физически бессмыслен для топологических зарядов, о которых вы спрашиваете.

Позвольте мне сначала объяснить «обычный» случай устойчивого предела на простом примере. Предположим, что существует симметрия (такая как композиция пространственной инверсии + обращения времени и отсутствие спин-орбитальной связи, см. подробнее здесь https://arxiv.org/abs/1705.07126 ), которая заставляет гамильтониан быть реальной симметричной матрицей . . Тогда пространство гамильтонианов является реальным грассманианом$O(N+M)/O(N)\times O(M)$, а не сложный. Легко показать, что для двух занятых и одной незанятой зоны

Это несоответствие означает, что трехполосные модели могут демонстрировать некоторые топологические препятствия, которые можно тривиально распутать, если разрешить гибридизацию с дополнительными полосами. Поскольку в твердых телах имеется бесчисленное множество зон, доступных при достаточно больших энергиях, каждую из которых можно было бы, по крайней мере в принципе, свести к трем полосам и гибридизироваться с ними, то трехзонная топологическая преграда является хрупкой (т.е. противоположной устойчивой ) . Вот почему часто удобно использовать$K$-теоретические методы нахождения топологического препятствия, поскольку эти методы, естественно, подвержены устойчивому пределу.

Однако понятие устойчивого предела трехкомпонентного разбиения полос,$N_1 + N_2 + N_3$, кажется не очень значимым в физике твердого тела. Вы можете создать дополнительные полосы с очень большой положительной или очень большой отрицательной энергией (т. е. внутри двух внешних компонентов перегородки), но вы не можете просто щелкнуть пальцами и волшебным образом создать дополнительную полосу в середине (центральной перегородке). Поэтому, мне кажется, стабильный лимит здесь физически недоступен.

С другой стороны, пока три степени свободы слабо связаны со всеми остальными степенями свободы, хрупкая$\mathbb{Z}$заряд/препятствие неустранимы (например, это означало бы отсутствие атомного предела, состоящего из экспоненциально локализованных орбиталей Ванье). Таким образом, при особых обстоятельствах это оказывает реальное влияние на топологию зонной структуры.

Наконец, позвольте мне кратко прокомментировать реальный случай, который мы фактически анализировали аналогичным образом в работе https://arxiv.org/pdf/1808.07469 (дополнение на https://arxiv.org/src/1808.07469v1/anc/supplement ). .pdf ). Мы рассмотрели крайний случай$O(N)/O(1)\times O(1)\times\ldots \equiv M_N$. Оказывается, первая гомотопическая группа$\pi_1(M_N)$неабелева (даже в невзаимодействующих системах!), и равна группе кватернионов

Таким образом, можно определенно узнать что-то полезное, используя соображения, которые вы предложили в своем вопросе, хотя понятие стабильного предела довольно неясно.