Фермионная версия суммы Гаусса-Мильграма?

Для бозонного топологического порядка была доказана очень полезная формула:

$\sum_a d_a^2 \theta_a=\mathcal{D} \exp(\frac{c_-}{8}2\pi i)$

(подробнее:$d_a$- квантовая размерность любого элемента, помеченного a , и$\theta_a$— топологический спин. D — полная квантовая размерность,$\mathcal{D}^2=\sum_a d_a^2$. И$c_-$является киральным центральным зарядом. Если мы предполагаем объемную граничную корреспонденцию,$c_-$можно определить как$c_-=c_L-c_R$, киральная комбинация центрального заряда граничной КТМ. В качестве альтернативы, хиральный центральный заряд также хорошо определен без обращения к КТП, то есть с помощью теплового эффекта Холла, когда у нас есть краевое завершение.)

Итак, мой вопрос прост: какова фермионная версия этой формулы?