Функция Грина, которую вы указали выше, не является функцией Грина для изолятора, который в общем случае не имеет полюса, если нет поверхности Ферми.

Аргумент Воловика несколько замкнут, поскольку вы с самого начала знаете, что$p=p_{F}$— импульс Ферми, определяющий поверхность Ферми. Когда$p\approx p_{F}$вы можете вывести форму функции Грина, как вы написали в своем вопросе, а затем из сложного анализа вы можете написать$N_{1}$. Тогда вы понимаете$N_{1}$топологически нетривиален, поскольку возмущение$G=G_{0}+\delta G$в$N_{1}$оставит его инвариантным (скажем по-другому$\delta N_{1}=N_{1}\left(G_{0}+\delta G\right)-N_{1}\left(G_{0}\right)=\mathcal{O}\left(\delta G^{2}\right)$не имеет члена, линейного по$\delta G$). Таким образом, вы продвигаете$N_{1}$охарактеризовать поверхность Ферми. В случае, если вы дали$G^{-1}\left(z\right)=z+v_{F}\left(p-p_{F}\right)$несомненно$N_{1}=\pm 1$я прав ?

Теперь меня интересует общая форма функции Грина для изолятора. я чувствую, что это что-то вроде$G^{-1}\left(z\right)=1$, но я не понимаю, почему именно сейчас. Я бы сказал, что это должно быть что-то достаточно тривиальное аналитически, чтобы не иметь плотности состояния. Самый простой способ - вообще не иметь полюса на реальной оси. Четко$N_{1}=0$в этом случае.

---

Редактировать: Ну, я хотел увидеть это более подробно на самом деле. Итак, попробуем упрощенную модель, когда щель разделяет электронную и дырочную зоны.

Простая модель

Предположим, что гамильтониан

$$H=\tau_{3}\left(p^{2}+\Delta\right)-\mu$$

с$p$импульс (вместо$p/\sqrt{2m}$),$\Delta$разрыв и$\mu$параметр (при переходе к многочастичным становится химическим потенциалом). Видно, что есть две зоны (я принимаю терминологию конденсированного состояния), скажем, для электрона и дырки, обе имеют одинаковую эффективную массу и разделены щелью.$\Delta$, который, я полагаю, всегда положителен. Когда$\mu>\Delta$, поверхность Ферми имеет электронную природу, тогда как для$\mu<-\Delta$на поверхности Ферми присутствуют только дырки.

Связанные функции Грина:

$$G_{\sigma}\left(z\right)=\dfrac{1}{z-\sigma\left(p^{2}+\Delta\right)+\mu}$$

с$\sigma=\pm$представляющие электронно-дырочную амбивалентность. Обычно в конденсированных средах мы предпочитаем обсуждать энергию с химическим потенциалом, принятым в качестве эталона, поэтому мы вводим$z=\omega-\mu$(Я уронил$\hbar$). Тогда поверхность Ферми определяется как геометрическое место$p$лежит на химическом потенциале$\omega=\mu$. По построению эти локусы являются полюсами$G_{\sigma}\left(z=0\right)$выше. легко найти

$$\hat{p}_{\sigma}^{\pm}=\pm\sqrt{\sigma\mu-\Delta}$$

для столбов. $\pm$различия исходят из квадратичной дисперсии, поэтому для каждой частицы, движущейся вправо, у нас есть частица, движущаяся влево. Это удвоение, очевидно, необходимо для сохранения галилеевой инвариантности, но оно не имеет ничего общего с зазором и различием между металлическим и изолирующим поведением, поэтому я опускаю$\pm$различие отныне.

Теперь мы видим главное: для$\sigma = +1$и$\mu>0$, полюса вдоль действительной оси нет, когда$\mu<\Delta$. То же самое верно для$\mu<0$и сектор отверстия$\sigma = -1$если$\left|\mu\right|>\Delta$. В заключение полюса вдоль действительной оси в зазоре нет. В обычной ситуации, когда химический потенциал лежит над щелью, вдоль вещественной оси имеются полюса.$\mu > \Delta > 0$в электронной сфере и$-\mu>\Delta>0$в секторе отверстия.

Это общий аргумент: функция Грина, связанная с изолятором, не имеет полюса вдоль действительной оси, поскольку химический потенциал по конструкции лежит внутри щели запрещенного импульса. Функция Грина может иметь воображаемый полюс внутри промежутка (как на самом деле выше), что требует, чтобы импульс был плохо определен (т.е. импульс становится мнимым). Это может произойти только путем наложения граничных условий, поскольку в этом случае «волновая функция» исчезает. Такие состояния называются по этой причине краевыми или поверхностными состояниями.

Теперь, чтобы вернуться к$N_{1}$конструкции, мы должны определить обобщенную$N_{\sigma}$которые выбирают, будем ли мы вычислять$N_1$в вопросе с использованием$G_{+}$или$G_{-}$, и у нас будет

$$\begin{cases} \left|N_{1}\right|=+1\;;\;N_{-1}=0 & \mu>\Delta\\ N_{1}=N_{-1}=0 & \left|\mu\right|<\Delta\\ N_{1}=0\;;\;\left|N_{-1}\right|=+1 & \left|\mu\right|>\Delta \end{cases}$$

Знак в металлическом секторе не имеет реального значения, все зависит от того, как повернуться вокруг полюса. Важным моментом является то, что$N_{\sigma}=0$в изоляторном секторе, как это тривиально для дырочного инварианта, когда химический потенциал лежит в электронном секторе, и наоборот$N_{1}=0$когда$\left|\mu\right|>\Delta$.

---

О полюсах функций Грина

Кажется, следующее замечание приветствуется (см. комментарий ниже от Meng-Cheng).

Обычно спектральные свойства системы получаются из полюсов функции Грина, взятой как функция$z=\omega-\mu$. Например, функция Green выше$G_{\sigma}\left(z\right)=\left(z-\sigma\left(p^{2}+\Delta\right)+\mu\right)^{-1}$имеет только один полюс$\hat{\omega}_{\sigma}=\sigma\left(p^{2}+\Delta\right)$вдоль$\omega$-ось, которая соответствует собственным энергиям системы (дисперсионное соотношение) и проявляется в так называемых спектральных свойствах функции Грина [Economu]. Как также заметил Менг-Ченг, разница между изолятором и металлом в этом случае заключается в возможности иметь произвольно низкоэнергетические возбуждения. В примере, когда$\Delta>0$самая низкая энергия$\Delta$(т.е.$\hat{\omega}_{\sigma=1}\left(p=0\right)=\Delta$, который стремится к нулю для незамкнутой системы (так и для нормального металла).

Наоборот, вся техника, разработанная в предыдущем разделе, связана с полюсами функции$G_{\sigma}\left(z=0\right)$в отношении$p$. Только эти более поздние полюса$G_{\sigma}\left(z=0\right)$в отношении$p$связаны с поверхностью Ферми [Хорава].

Рекомендации

• Э.Н. Эконому, Функции Грина в квантовой физике , 3-е изд. (Спрингер, 2006).

• П. Хоржава, Устойчивость поверхностей Ферми и K-теория Phys. Преподобный Летт. 95 , 016405 (2005) или arXiv:hep-th/0503006