Трудности с обозначением скобок

Формулировка, использованная в вашем учебнике, была небрежной.

$A$выступает в качестве$A^*$на бюстгальтере, как$\langle u\rvert A\lvert v\rangle:=\langle u\lvert Av\rangle~$такой же как$\langle u\rvert A\lvert v\rangle=\langle A^*u\lvert v\rangle~$, по определению сопряженного. Последняя формула также показывает, что$\langle A^*u\rvert=\langle u\rvert A$.

В терминах линейной алгебры все становится очень просто, когда кет интерпретируется как вектор-столбец, соответствующий бюстгальтер — как сопряженный транспонированный вектор-строка, оператор — как квадратная матрица, а сопряженное — как сопряженное транспонирование. Это действительно частный случай, когда гильбертово пространство$C^n$.

Действительно хороший вопрос (к сожалению, я пришел слишком поздно, чтобы помочь). Все это имеет вполне математический смысл, но его основы лежат в абстрактной алгебре и редко объясняются студентам, а потому остаются скрытыми от тех, у кого нет соответствующего воображения.

Чтобы твердо понять bra и ket, а не просто умножать строки на столбцы и помнить их правило сопряжения, достаточно усвоить две вещи: (некоторые части) двойственность в линейной алгебре , включая поведение линейных операторов , и двойственность гильбертова пространства . Неспособность понять любую из двух частей может привести к ментальному хаосу при любой попытке понять значение этих символов.

Как видим, оригинальный постер знает, что такое дуальное векторное пространство. В этом абзаце мы полностью забываем о гильбертовой структуре; есть только векторные пространства (над ℂ) и линейные карты. Если A  :  V ₁  →  V ₂ — линейное отображение, а v  :  V ₂  → ℂ — линейный функционал (элемент V ₂ *), то их композиция  v  ∘  A отображает V ₁ в ℂ и, следовательно, принадлежит V ₁ * . Эта композиция для каждого данного A  определяет линейную карту A ⁠* : V ₂ * → V₁ *, что называется «транспонированием » A ; эта вещь тавтологична и сохраняет линейность над ℂ. В то время как действие A на V ₁ обозначается A  ∣  u  ⟩ в обозначениях Дирака, действие A ⁠* на V ₂ * обозначается ⟨  v  ∣  A (обратите внимание на порядок v и   A в композиции). Нам не нужно отличать A ⁠* от A , потому что A всегда действует слева, а A ⁠* всегда действует справа.

Теперь вторая часть: непрерывный двойной${\mathcal H}\text{*}$в гильбертово пространство$\mathcal H$канонически изоморфен (т. е. одно и то же) своему комплексно-сопряженному $\overline{\mathcal H}$. Это математический факт. Практически поэтому гильбертовы пространства так удобны, и я должен лучше объяснить, что означает «комплексно-сопряженные» в этом контексте. Элемент ∣  u  ⟩ из$\mathcal H$, сказал «кет-вектор», и элемент ⟨  u  ∣ из$\overline{\mathcal H}$, сказал «бюстгальтер-вектор», идентичны. Два пространства связаны биекцией, т.е. не различаются как множества. При этом у них одинаковые законы сложения: ⟨  u  ∣ + ⟨  v  ∣ соответствует ∣  u  ⟩ + ∣  v  ⟩, умножение на действительные числа r  ∈ ℝ : r  ⟨  u  ∣ соответствует r  ∣  u  ⟩, а также один и тот же вектор норма. Единственное отличие состоит в том, что умножение на комплексные скаляры c  ∈ ℂ : c  ⟨  u  ∣ соответствует$\overline{c} ∣ u ⟩$, где черта означает комплексное сопряжение, а не « c  ∣  u  ⟩». Чистое состояние квантовой системы можно записать как ∣  ψ  ⟩ или ⟨  ψ  ∣; хотя как комплексные векторы они разные, они представляют одно и то же состояние (обратите внимание, что скалярное умножение вектора состояния физически не меняет состояние). Мы видим: бра и кеты ничем не отличаются с точки зрения физики, теории множеств, метрической геометрии, топологии и даже реальной линейной алгебры. Вся разница между ними заключается в противоположных структурах комплексного (скалярного) умножения.

Мы видим, как две части соединяются вместе. Если$A: {\mathcal H}_1 → {\mathcal H}_2$, тогда$A\text{*}$отображает линейно${\mathcal H}_2\text{*}$к${\mathcal H}_1\text{*}$и, следовательно$\overline{{\mathcal H}_2}$к$\overline{{\mathcal H}_1}$, значит, у нас есть отображение (априори не ℂ-линейное ) из${\mathcal H}_2$к${\mathcal H}_1$. Он обозначается$A^†$и, по сути, является комплексно-линейным, поскольку комплексная структура переворачивается дважды: один раз из${\mathcal H}_2$к${\mathcal H}_2\text{*} ≅ \overline{{\mathcal H}_2}$, и еще один из${\mathcal H}_1\text{*} ≅ \overline{{\mathcal H}_1}$к${\mathcal H}_1$. Или, в символах, личность

(Обратите внимание, что где-то «*» используется в таких контекстах для комплексного сопряжения, а не надчеркивания, что, безусловно, способствует созданию густой атмосферы путаницы вокруг символа звездочки.)

Операция «†» называется «эрмитово сопряженной» для абстрактных линейных операторов и «сопряженной транспонированной» для комплексных матриц. Это просто следствие перестановки операторов (из линейной алгебры) и${\mathcal H}\text{*} ≅ \overline{\mathcal H}$изоморфизм (из теории гильбертовых пространств), но, если${\mathcal H}_2 = {\mathcal H}_1$, он определяет нетривиальную инволюцию операторов в гильбертовых пространствах. Это немного сложно, потому что оператор транспонирования тавтологичен, а комплексное сопряжение бессмысленно по отдельности, но именно для гильбертовых пространств они вместе выполняют важную операцию. Две вышеупомянутые части алгебры должны быть объединены, чтобы получить другой оператор из того же операторного пространства .

Если вы думаете о$\mid u \rangle$как векторы-столбцы и$\langle u \mid$как векторы-строки, то$A$это просто$n \times n$матрица (возможно с$n = \infty$).

Затем вы можете подумать о$A \mid u \rangle$как матрица$A$действующий на вектор$u$. Однако, поскольку$\langle v \mid$является строкой, а не вектор-столбцом, вы не можете (для разумного вектора-строки) умножить$v$с$A$слева, но только справа:

Затем обычно определяют$\langle v A \mid$(или же$\langle A v \mid$) в результате воздействия на$v$с$A$. Если вы затем возьмете скалярное произведение с$\mid u \rangle$, мы можем написать:

для некоторой матрицы$B$такой, что$u' = Bu$(слева, так как$\mid \rangle$являются векторами-столбцами). Кроме того, обнаруживается, что связь между$A$а также$B$таков, что

то есть эрмитово сопряженное: это имеет смысл - если вы позволяете реальной матрице действовать на строку, а не на обычный вектор-столбец, вы должны взять ее сопряженную (т.е.$M_{ij}^T = M_{ji}$), а магия квантовой механики просто добавляет к этому комплексно-сопряженное$A^\dagger_{ij} = \bar A_{ji}$

Второй пункт очень похож:$( A \mid v \rangle)^\star$описывает двойной элемент$A \mid v \rangle$, что бывает$\langle v A \mid = \langle v \mid A^\dagger$.

Как правило, с точки зрения физика, вы добавляете$^\dagger$если вытащить оператора из лифчика, чтобы потом заставить его воздействовать на кет. Конечно (для толковых операторов),$(A^\dagger)^\dagger = A$.

Я просто хочу оставить комментарий (требуется 50 репутации...)

Действия «слева» и «справа» на самом деле имеют точное значение, ср. групповое действие или левые/правые модули. не записывая никаких формул, обратите внимание, что у вас есть два «умножения», одно — это композиция операторов, другое — «действие». Различие левое/правое действие возникает, когда у вас есть два оператора, действующих на вектор...