Нужны ли обозначения Дирака?

Одна вещь, которая всегда беспокоила меня в обозначениях Дирака, заключается в том, что они предполагают, что гильбертово пространство содержит «континуальный базис» векторов. | Икс ⟩ , которые являются собственными векторами оператора Икс (у которого нет собственных значений, а есть только непрерывный спектр, охватывающий все пространство). Их внутренний продукт оценивается по распределению, при этом ⟨ Икс ′ | Икс ⟩ "=" дельта ( Икс ′ − Икс ) . Также есть загадочное свойство нормализации: ∫ | Икс ⟩ ⟨ Икс | г Икс "=" я г . Согласно этому вопросу , некоторые из них нельзя сделать строгими даже с чем-то вроде концепции «оснащенных гильбертовых пространств».

Итак, существует ли другой подход к квантовой механике в целом, который полностью обходит этот вопрос без потери описательной силы?

Использование этого непрерывного базиса на самом деле не является особенностью обозначений как таковых - запись векторов не как бюстгальтеры и кеты не запрещает любому физику использовать базис положения. «Подход» к квантовой механике, который обходит этот вопрос или использует только его строгие части, является просто «строгой» или «математической» квантовой механикой. Я не совсем уверен, какой ответ вы ищете на этот вопрос - точный способ сделать данный шаг строгим будет зависеть от шага.
Я не понимаю этих вопросов, потому что я все время использую нотацию с ключом для векторов в конечномерном векторном пространстве.
@DanielSank ОП не спрашивает о конечномерных векторных пространствах. Что касается примечания ACuriousMind, у меня сложилось впечатление, что ОП спрашивает, возможны ли альтернативные формулировки QM, которые полностью избегают использования такой континуальной основы. Не то, чтобы я мог дать осмысленный ответ на него.
@JanBos Я думаю, что Даниэль просто возражает против слишком широкого заявления об обозначениях Дирака. В нем нет ничего, что по своей сути предполагает непрерывную основу, и нет необходимости делать квантовую механику с операторами, имеющими непрерывный спектр (несмотря на трудности со строгостью, которые сопровождают работу в любых обозначениях).
Нотация Дирака — это лишь полустрогая удобная нотация , помогающая выполнять некоторые вычисления быстрее; в этом нет необходимости для формулировки квантовой механики. На самом деле квантовая механика может быть без проблем сформулирована в строгой форме с использованием более сложных математических инструментов (таких как C*-алгебры наблюдаемых).

Ответы (1)

Проблема, на мой взгляд, заключается не в обозначениях как таковых, а скорее в изучаемом физическом сценарии. Пространство-время непрерывно бесконечно. Следовательно, требуется базис, который также непрерывен и бесконечен. Таким образом, независимо от того, как можно представить такой базис в терминах обозначений, условие его ортогональности обязательно должно включать дельта-функцию Дирака. В конце концов, можно снять шляпу перед такими людьми, как Дирак, которые придумали некую математическую систему, позволяющую производить вычисления, которые могут привести к предсказаниям, которые, в свою очередь, можно проверить в экспериментах. Сам факт того, что такие предсказания часто согласуются с этими экспериментальными результатами, по-видимому, указывает на то, что такой способ расчета этих величин с использованием этого математического формализма должен быть в некоторой степени правильным. Тогда перед математиками становится сложной задачей попытаться разработать аксиоматическую систему, которая может привести к этому формализму непротиворечивым образом. Это часто означает, что нужно было бы расширить понятия интегралов, векторных пространств и тому подобного, чтобы формализм мог работать в строгом математическом смысле. Так это или нет, обычно это не мешает физикам использовать этот формализм.

Нужны ли обозначения Дирака?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v