Задача с матрицами в обозначениях Дирака

Если в вашей книге говорится то, что вы описываете, это очень запутанный способ представления предмета, а утверждение относительно$\langle q\vert\hat{p}\vert \psi\rangle$просто неправильно.

• $\langle e_i \vert \hat{A} \vert e_j \rangle$это$ij$матричный элемент оператора$\hat{A}$, сказать$A_{ij}$, в (ортонормированном полном) базисе, натянутом на$\{\vert e_i\rangle \}$что означает, что полный оператор$\hat A= \sum_{ij}A_{ij} \vert e_i\rangle\langle e_j\vert$.

• $\langle q \vert \hat p \vert \psi \rangle$не является матричным элементом оператора импульса в позиционном базисе, если только$\psi$оказывается позиционным собственным состоянием$\vert \tilde{q}\rangle$в таком случае$\langle q \vert \hat p \vert \psi \rangle$было бы$q\tilde{q}$-й элемент матричного представления оператора импульса в позиционном базисе.

• Однако то, что вы можете сказать, это то, что$\langle q \vert\hat p \vert \psi \rangle$«представляет действие оператора импульса в позиционном базисе» в следующем смысле:

  $$\langle q \vert \hat p \vert \psi \rangle= \int d\tilde{q} ~ \langle q \vert\hat p \vert \tilde{q} \rangle \langle \tilde{q} \vert \psi \rangle = \int d\tilde{q} ~ i\hbar \partial_{\tilde{q}} \delta (q-\tilde{q} ) \psi(\tilde{q} )= -i\hbar \partial_q \psi(q)$$ Так,$\langle q \vert \hat p \vert \psi \rangle$описывает действие оператора импульса на общее состояние$\psi$в основе положения. Вот почему$-i\hbar \partial_q$часто называют оператором импульса в позиционном базисе. Это не означает, что это матричный элемент оператора импульса в позиционном базисе, это было бы$\langle q \vert\hat p \vert \tilde{q} \rangle = i\hbar \partial_{\tilde{q}} \delta (q-\tilde{q} )$(факт, который мы использовали в приведенном выше расчете).

• Наконец, говоря, что$\langle \psi \vert \hat A\vert \psi \rangle$является матричным элементом оператора$\hat A$в$\psi$это, мягко говоря, странно сформулированное утверждение, но его можно сделать более точным и правильным. Если$\psi$является нормализованным вектором состояния, то вы всегда можете найти эрмитов оператор$\hat O$такой, что$\psi$является одним из его собственных состояний. Тогда вы можете интерпретировать$\langle \psi \vert \hat A\vert \psi \rangle$как$\psi\psi$й элемент матричного представления оператора$\hat A$в базисе, натянутом на собственные состояния оператора$\hat O$. Однако, вообще говоря, такой оператор может иметь или не иметь непосредственного физического значения и, таким образом, говоря, что$\langle \psi \vert \hat A \vert \psi \rangle$является матричным элементом$\hat A$в основе, натянутой таким оператором, не очень полезно. Более непосредственно физический и базисно-независимый смысл$\langle \psi \vert \hat A \vert \psi \rangle$заключается в том, что это ожидаемое значение оператора$\hat A$над государством$\psi$.

$\langle q|\hat{p}|\psi\rangle$можно интерпретировать (чисто формально!) как элемент с меткой$q$матрицы «непрерывного» столбца, представляющей кет$\hat{p}|\psi\rangle$в основе$\{|q\rangle\}$:

Элемент с меткой$(q,q')$«непрерывной» матрицы оператора импульса в базисе$\{|q\rangle\}$будет, соответственно, дано$\langle q|\hat{p}| q'\rangle$, по аналогии с$\langle e_i|\hat{p}|e_j\rangle$будучи$(i,j)$-й элемент матрицы$\hat{p}$в основе$\{|e_i\rangle\}$:

Что касается последней части вашего вопроса, я думаю, что это всего лишь неформальная терминология книги, которую вы цитируете. Матричный элемент$\langle q|\hat{p}| q'\rangle$часто говорят, что «перекрываются» между штатами$|q\rangle$и$|q'\rangle$, пока$\langle q|\hat{p}|q\rangle$будет называться матричным элементом$\hat{p}$в едином государстве$|q\rangle$(это «диагональный» элемент вышеуказанной матрицы). Соответственно, для любого состояния$|\psi\rangle$ты мог бы позвонить$\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$матричный элемент$\hat{A}$в едином государстве$|\psi\rangle$.

Матрица эрмитова оператора должна быть эрмитовой, т.е. удовлетворять