U(1)U(1)U(1) заряд представления

В этом ответе я буду следовать обзору Слански : «Теория групп для построения унифицированной модели» и использовать данные из обзора и те же обозначения.

Факторы «U (1)» в непрерывной группе соответствуют «центральным зарядам», которые должны коммутировать с неабелевыми факторами. Нетрудно доказать, что их собственные значения фундаментальных весов задаются соответствующей компонентой веса в корневом базисе. Эти компоненты даются:

Где$a_j$являются компонентами базиса Дынкина, как указано в вопросе.$G_{ij}$— метрический тензор, определенный через матрицу Картана в уравнении (4.11) Слански. Значения этого показателя для всей классификации Картана приведены в таблице 7 на стр. 82.

В примере, приведенном в вопросе, когда мы определяем$SU(3)$Этикетки Дынкина с первыми двумя этикетками$SU(5)$вес и$SU(2)$метка последней, то (центральный) заряд U(1) является третьей составляющей веса в корневом базисе.

Таким образом, это дается скалярным произведением третьей строки метрического тензора, которое мы можем прочитать как:$\frac{1}{5}[2, 4, 6, 3]$с весом.

Результаты скалярного произведения$\frac{4}{5}$с первым$3$веса,$\frac{-1}{5}$со следующим$6$веса и$\frac{-6}{5}$с последним весом.

Теперь разветвление не предъявляет никаких нормировочных требований к центральному заряду. (Есть внешние условия, которые можно использовать для этого, но это будет за рамками вопроса). Нормировка введена таким образом, что подпредставление, отождествляемое с кварками, будет иметь требуемый заряд, а именно$\frac{1}{3}$. Это означает, что мы должны выбрать такой нормировочный множитель, чтобы заряд$\frac{-1}{5}$подпространство становится$\frac{1}{3}$. Таким образом, нормировочный коэффициент равен$\frac{-5}{3}$, поэтому соответствующие заряды должны быть$\frac{-4}{3}$во-первых$\frac{1}{3}$для следующего$6$веса и$2$для синглета.

Конечно, каждая неприводимая компонента в разложении характеризуется одним зарядом, как и должно быть.

Это очень просто, используя молодые картины. Действительно,$SU(M+N)$разлагается в$SU(M)\times SU(N)\times U(1)$где гиперзаряд отождествляется (с точностью до полной нормализации) с (бесследной) блочно-диагональной матрицей$diag(N,\ldots,N,-M,\ldots,-M)$где каждый из двух блоков кратен тождеству с размерами$M$а также$N$соответственно. Следовательно, неприводимое представление$SU(M)\times SU(N)$дается двумя молодыми картинами с$m$а также$n$коробки будут иметь гиперзаряд$y=m N -nM$.

Пример в$SU(3)\times SU(2)\times U(1)\subset SU(5)$: присоединенный 24 содержит$(3,2)_{y=5}\in SU(3)\times SU(2)\times U(1)$поскольку$3\in SU(3)$происходит от$n=4$коробки, тогда как$2\in SU(2)$из$n=1$ящики, а значит$y=4\cdot 2-1\cdot 3=5$.

В целом,$U(1)$заряды не фиксируются однозначно из представления. Тем не менее, вы можете найти линейную комбинацию меток Dynkin, которая дает$U(1)$зарядите, как только вы зафиксируете заряд одного единственного состояния . На геометрической картине$U(1)$заряды соответствуют осям, которые вы фиксируете в весовом пространстве. Это уникально, если вы знаете квантовые числа одного состояния (например,$(1, 1)_Y$должен быть позитрон, у которого вы знаете гиперзаряд и т. д.).

Слански подробно рассматривает это в своем классическом обзоре «Групповая теория для построения унифицированных моделей», гл. 6, около экв. (6.9).