Спинорное представление, ограниченное подгруппой, формула Полчинского

Вы запутались в том, как подсчитываются размеры представлений. В общем, это сложные измерения, а не реальные.

Точнее, представления групп Ли бывают трех типов: комплексные, вещественные и псевдовещественные. Комплексные не эквивалентны своим комплексно-сопряженным. Реальные и псевдореальные эквивалентны своим комплексно-сопряженным, а реальные таковы, что эквивалентность может использоваться для требования, чтобы координаты представлений были реальными. Псевдовещественные или «кватернионные» представления не могут быть сведены таким образом, но они по-прежнему эквивалентны своим комплексно-сопряженным по существу потому, что$i$и$-i$могут быть непрерывно связаны друг с другом через сферу$S^2$единицы, чисто мнимые кватернионы.

$SO(4)$локально изоморфна$SU(2)\times SU(2)$поэтому он имеет два неэквивалентных двумерных комплексных (псевдореальных) представления. Один из них дуплет под первым$SU(2)$и инвариантный относительно второго$SU(2)$преобразования, другой дублет под другим$SU(2)$.

Сходным образом,$SO(5,1)$является своего рода$SL(2,H)$группа$2\times 2$матрицы с кватернионными элементами, у которых «действительная часть определителя» равна единице. Эту группу можно записать в терминах$4\times 4$комплексные матрицы, так что это подгруппа$GL(4,C)$. Следует, что$SO(5,1)$имеет 4-мерные (сложные, ну, псевдовещественные) фундаментальные представления. Что ж, у него есть два неэквивалентных псевдореальных фундаментальных представления, и они не являются комплексно-сопряженными друг другу. Вместо этого каждый из них эквивалентен комплексно-сопряженному самому себе.

Так что только для реальных представлений подсчет размеров следует тому, во что вы верите. Комплексные представления, не допускающие никакого естественного «ограничения, делающего координаты реальными» (без удвоения), являются комплексными, и под размерностью мы понимаем количество комплексных координат (без умножения на два). Представительства с$K$кватернионные координаты считаются как$2k$-мерные комплексные представления. Это унифицированный подход к представлению, который приводит к более единообразному и регулярному набору правил, определяющих поведение объектов. Это наиболее естественный способ, поскольку он основан на комплексных числах, а комплексные числа более фундаментальны, чем действительные числа или кватернионы. (Основная теорема алгебры и другие причины.) Вещественные и кватернионные представления классифицируются как комплексные представления со специальной свободой «сопряжения» координат, т.е. с некоторой специальной «антилинейной структурной картой».$j$" коммутирует с действием группы$g(v)$. Для реальных представителей,$j^2=+1$, для псевдореальных,$j^2=-1$и$j$можно буквально интерпретировать как умножение на$j$кватернион с правильной стороны.

Около B.1.43 и B.1.44 Джо просто говорит вам диагонализовать представления с обеих сторон и перечислить возможные собственные значения всех операторов.$S_a$- посмотрите на основу представления, содержащего все общие собственные состояния всех$S_a$операторы. Все эти собственные значения$S_a$являются$\pm 1/2$- коллекция известна как вес. Является ли число отрицательным$-1/2$четность или нечетность собственных значений определяет хиральность спинора.

Таким образом, левая часть B.1.44 — это наборы весов (собственные значения при$S_a$операторы), которые$\pm 1/2$каждый, а число отрицательных собственных значений четно (а) или нечетно (б). Они могут быть получены как тензорные произведения наборов меньших множеств, для которых киральность четна для левой группы и четна для правой группы или нечетна для левой группы и нечетна для правой группы (а), или четно-нечетна или нечетна -четный (б). Вот почему неприводимый представитель большей группы распадается на прямую сумму двух неприводимых представителей фактор-групп, и каждый из двух членов прямой суммы является тензорным произведением двух спиноров Вейля.