Удельная теплоемкость двумерного газа свободных электронов

Процедура получения удельной теплоемкости свободного электронного газа произвольной размерности связана с так называемым разложением Зоммерфельда, которое применяется к интегралам вида

$$I(\mu,T)=\int_{-\infty}^{+\infty} d\epsilon \, f(\epsilon) n_F(\epsilon)$$

где$n_F(\epsilon)$распределение Ферми-Дирака и$f(\epsilon)$произвольная функция, которая обращается в нуль при$\epsilon \rightarrow -\infty$и расходится как степенной закон, когда$\epsilon \rightarrow +\infty$.

В этом методе используется тот факт, что производная функции Ферми имеет пик около химического потенциала.$\mu$и расширен за счет$k_BT$[и действительно рушится до$-\delta(\epsilon-\mu)$в$T=0$]. Следовательно, если функция ведет себя так, как описано выше, что верно для$f(\epsilon)=\epsilon g(\epsilon$), мы можем интегрировать по частям, чтобы получить

$$\int_{-\infty}^{+\infty} d\epsilon \, f(\epsilon) n_F(\epsilon)=-\int_{-\infty}^{+\infty} d\epsilon \, F(\epsilon) \dfrac{\partial n_F}{\partial \epsilon}$$ где $$F(\epsilon)=\int_{-\infty}^{\epsilon}d\epsilon' f(\epsilon')$$ и расширить $F(\epsilon)$вокруг $\epsilon=\mu$в сериале Тейлор $$F(\epsilon)=F(\mu)+\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{F^{(k)}(\mu)}{k!}(\epsilon-\mu)^k$$ с $F^{(k)}(\mu)$будучи $k$-я производная функции $F$. Заметив, что $(-\partial n_F/\partial \epsilon)$нормирована на единицу и является четной функцией (так что только слагаемые четного $k$вклад) мы можем вернуться к исходной функции $f(\epsilon)$и используя $x=\beta(\epsilon-\mu)$ $$I(\mu,T)=\int_{-\infty}^{\mu}d\epsilon f(\epsilon)+\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{f_k}{\beta^{2k}}\dfrac{d^{2k-1}}{d\epsilon^{2k-1}}f(\epsilon)\Bigg|_{\epsilon=\mu}$$ с коэффициентами $$f_k=\int_{-\infty}^{+\infty} dx \dfrac{x^{2k}}{(2k)!}\left(-\dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{e^x+1}\right)dx$$ Используя это, у вас не должно возникнуть проблем с нахождением средней кинетической энергии для свободного 2DEG и, исходя из этого, удельной теплоемкости.