Удерживает ли реальная кривизна пространства-времени энергию?

Гравитационному полю действительно можно приписать энергию. К сожалению, тогда как, скажем, для электромагнитного поля вы можете определить плотность энергии в точке ($\bf{E}^2+\bf{B}^2$), для гравитационного поля этого сделать нельзя. - Как бы вы ни определяли энергию в терминах символов Кристоффеля, вы сталкиваетесь с проблемой, что вы можете заставить их, а следовательно, и энергию, исчезнуть в какой-то момент при выборе подходящей рамки.

Поэтому люди придумали нелокальные определения энергии для гравитационного поля — энергия АДМ, энергия Бонди и т. д., и все они включают интегрирование по областям пространства-времени.

Полезно взглянуть на другую более простую классическую теорию поля — электромагнетизм. В электромагнетизме есть уравнения изменения электромагнитных полей во времени, они довольно просты по сравнению с общей теорией относительности, а именно

$$\frac{\partial \vec E}{\partial t}=\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}\vec \nabla \times \vec B, \text{ and }\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-\vec \nabla \times \vec E.$$

Это означает, что для пространства-времени естественно быть заполненным электромагнитными полями, но они должны эволюционировать определенным образом во времени в зависимости от того, что они собой представляют прямо сейчас. И для определенных конфигураций они не меняются во времени.

То же и с гравитацией. Вместо электромагнитного поля у вас метрика и вместо

$$\frac{\partial \vec E}{\partial t}=\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}\vec \nabla \times \vec B, \text{ and }\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-\vec \nabla \times \vec E$$ говоря вам, как развиваться в вакууме, у вас есть уравнение $G=0$которое является уравнением второго порядка (и нелинейным), поэтому выделить что-то столь простое, как производная по времени от 16 компонентов метрики, непросто, и в любом случае это будет вторая производная.

Но выводы те же. Для пространства-времени естественно быть наполненным меняющейся метрикой даже в вакууме, оно просто должно эволюционировать определенным образом. Много аналогичных вещей. Есть электромагнитные волны, которые проходят через вакуум, есть гравитационные волны, которые проходят через вакуум. Существует естественный способ эволюции метрических и электромагнитных полей во времени в вакууме. И естественно, что они там есть.

Но когда есть электрический ток, электромагнитное поле должно развиваться по-другому. Он развивается в соответствии

$$\frac{\partial \vec E}{\partial t}=\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}\vec \nabla \times \vec B-\frac{1}{\epsilon_0}\vec J, \text{ and }\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-\vec \nabla \times \vec E.$$

Таким образом, учитывая область тока, такую ​​как лист тока, вы можете сшить решение для любой стороны листа, которое обычно не стыкуется вместе. То же самое происходит и с гравитацией.

Вы можете взять решение вакуумного уравнения$G=0$например, пространство Минковского в шарообразной области радиусом 10 000 км. Тогда вы можете принять другое решение вакуумного уравнения$G=0$например решение Шварцшильда с параметром$M=M_\oplus$и разрезать их по сферической оболочке площадью поверхности$4\pi(10,000km)^2$и сшить их вместе. Обычно они не подходят друг к другу, но все же являются решением$G=0.$И на самом деле вычисление$G$включает некоторые вторые производные от метрики и дает ненулевое$G$прямо на этой поверхности. Но это нормально, потому что точно так же, как электромагнетизм может сшивать вещи, если там есть ток, так и гравитация может сшивать решения, если там есть энергия напряжения. Так что вам просто нужно поместить немного энергии на сферическую оболочку между двумя областями, просто идеальное количество, но это все, что нужно.

Таким образом, кривизна вне сферической оболочки прекрасно существует сама по себе. На самом деле это именно тот вид искривления, который эволюционирует в себя, это статическое поле (например, если бы у вас было однородное и постоянное электрическое поле, оно могло бы просто оставаться в пустом пространстве), поэтому кривизна вне оболочки равна способен эволюционировать в себя. Точно так же кривизна внутри (отсутствие) имеет метрику, которая полностью способна эволюционировать в себя. Так что, если энергия может оставаться на месте, как гигантская оболочка, сделанная из кирпичиков лего, держащихся вместе, тогда все может оставаться там вечно и прекрасно.

Но это не объясняет, откуда берется кривизна. Мы только что описали ситуацию, когда будущее похоже на прошлое, которое такое же, как и настоящее, только потому, что оно было идеально для этого создано.

Давайте сделаем некоторую кривизну!

Начните со сферической оболочки материи. Иметь метрику Шварцшильда (криволинейную) для области вне оболочки и иметь метрику Минковского (неискривленную) для области внутри оболочки. Для этого у вас должно быть достаточное количество энергии на оболочке. Но на этот раз материя на тонкой оболочке не может держаться вместе, поэтому вся падает к центру. Какая разница? Напряжение сдвига меньше, и это позволяет материалу падать внутрь к центру. Когда он падает, область на самой дальней поверхности вынуждена эволюционировать по пути вакуума, а не по пути «здесь есть какая-то плотность энергии», и мы знаем, что это такое, поскольку метрика Шварцшильда снаружи точно такая же. что касается самого себя, то больше Шварцшильда производится там, где должна быть самая внешняя поверхность. То же самое только внутри самой внутренней поверхности, новая материя переводит метрику Минковского в метрику Шварцшильда, потому что это именно то значение плотности энергии (для этого места), чтобы изменить метрику с одной на другую, потому что это то, сколько энергии плотность, которую мы поместили туда (технически энергии немного больше, поскольку она падает, но волшебным образом это именно то количество энергии, которое вам нужно в новом месте для перехода между ними). И это работает, потому что ограничение на то, как развивается кривизна, — это именно то, что вам нужно, чтобы соответствовать тому, как развивается материя. На самом деле Эйнштейн потратил свое время на то, чтобы сделать эту часть правильной. новая материя там переводит метрику Минковского в метрику Шварцшильда, потому что это именно то количество плотности энергии (для этого места), чтобы изменить метрику с одной на другую, потому что это то, сколько плотности энергии мы помещаем туда (технически существует немного больше энергии, так как он падает, но волшебным образом это именно то количество энергии, которое вам нужно в новом месте для перехода между ними). И это работает, потому что ограничение на то, как развивается кривизна, — это именно то, что вам нужно, чтобы соответствовать тому, как развивается материя. На самом деле Эйнштейн потратил свое время на то, чтобы сделать эту часть правильной. новая материя там переводит метрику Минковского в метрику Шварцшильда, потому что это именно то количество плотности энергии (для этого места), чтобы изменить метрику с одной на другую, потому что это то, сколько плотности энергии мы помещаем туда (технически существует немного больше энергии, так как он падает, но волшебным образом это именно то количество энергии, которое вам нужно в новом месте для перехода между ними). И это работает, потому что ограничение на то, как развивается кривизна, — это именно то, что вам нужно, чтобы соответствовать тому, как развивается материя. На самом деле Эйнштейн потратил свое время на то, чтобы сделать эту часть правильной. s именно такая плотность энергии, которая вам нужна в новом месте для перехода между ними). И это работает, потому что ограничение на то, как развивается кривизна, — это именно то, что вам нужно, чтобы соответствовать тому, как развивается материя. На самом деле Эйнштейн потратил свое время на то, чтобы сделать эту часть правильной. s именно такая плотность энергии, которая вам нужна в новом месте для перехода между ними). И это работает, потому что ограничение на то, как развивается кривизна, — это именно то, что вам нужно, чтобы соответствовать тому, как развивается материя. На самом деле Эйнштейн потратил свое время на то, чтобы сделать эту часть правильной.

Итак, когда материя движется, она делает это определенным образом (так, что энергия и импульс сохраняются локальным способом), что и дает метрике в вакууме вокруг нее свободу эволюционировать в новую метрику вакуума в образом, определяемым метрикой поблизости и ранее, точно так же, как электромагнитные поля меняются в зависимости от предыдущих полей и того, что происходит поблизости. Для гравитации она изменяется способом второго порядка, что означает, что это метрика, и то, как изменяется метрика, является текущей «вещью», а вакуумный способ эволюции заключается в том, чтобы сказать, как эти скорости изменения могут измениться. И это сложнее, поскольку вы не можете просто сложить два решения вместе, чтобы получить новое решение. Но стресс и энергия просто сообщают пространству-времени, что оно может (и должно) искривляться иначе, чем обычно без стресса или энергии. Что позволяет ему переходить между различными способами, которыми он может изгибаться в вакууме. И позволяет ему изменяться «по-вакуумному», когда материя уходит, и позволяет ему изменяться во что-то новое (не по-вакуумному), когда материя входит.

Это действительно то, что происходит. Искривление может произойти само по себе. Вот почему вы можете вращаться вокруг чего-то, что находится далеко, кривизна здесь образовалась давным-давно, когда коллапсирующие части двигались дальше, чем мы двигались. Таким образом, галактика оставила пространство здесь искривленным по мере формирования галактики, солнце искривило солнечную. системе, когда сформировалось солнце, земля оставила пространство вокруг земли искривленным, когда сформировалась земля, и поэтому луна может вращаться вокруг земли, как земля вращается вокруг солнца, как солнце вращается вокруг галактического центра. По этой же причине вы можете ощущать гравитацию вне черной дыры, объект искривлял пространство вне себя, когда он коллапсировал, каждый кусочек падающей материи покидал область с одной стороны, искривленной иначе, чем с другой… поскольку именно это и делает материя.