Унитарные представления SO(3)SO(3)SO(3) и so(3)so(3)so(3)

Согласно моему сценарию:
Квантовая механика утверждает$ψ ∈ \mathcal H$изменяется при вращении $R ∈ \text{SO(3)}, \vec{x} \rightarrow R\vec{x}$в соответствии с$ψ \rightarrow U(R)ψ$, тогда как$U(R)$является унитарным представлением$\text{SO(3)}$есть, значит:

$$U: \text{SO(3)} \rightarrow \mathcal L(\mathcal H) = \{\text{linear transformation } \mathcal H \rightarrow \mathcal H\} = \text{GL}(\mathcal H,\mathcal H)$$ $$R \longmapsto U(R)$$
является гомоморфизмом, т.е. $U(R_1)U(R_2) = U(R_1R_2), U(1) = \mathbb I$который является унитарным $U(R)^{-1} = U(R)^*$.

Бесконечно малые вращения являются элементами$Ω$касательного пространства$T_{\mathbb I}SO(3) = \{\dot{γ}(0)|γ:[-ε,ε] \rightarrow \text{SO(3)}, γ(0) = \mathbb I\}$, где$γ(ε) = e^{εΩ} ∈ \text{SO(3)},γ(0) = e^{0Ω} = \mathbb I$, на$\text{SO(3)}$в точку$\mathbb I$:

$$Ω = \frac{d}{dt}R(t)\bigg|_{t=0},$$
тогда как $t \longmapsto R(t)$является дифференцируемой кривой в $\text{SO(3)}$через $R(0) = \mathbb I$.

Каждое групповое представление Ли$\text{SO(3)}$на$\mathcal H$соответствует представлению алгебры Ли$\text{so(3)}$(но не наоборот):

$$U(Ω):= \frac{d}{dt}U(R(t))\bigg|_{t=0}.$$

Преобразование$Ω \longmapsto U(Ω)$является гомоморфизмом$\text{so(3)}$ $(\alpha_1,\alpha_2 ∈ ℝ)$:

$$U(\alpha_1Ω_1 + \alpha_2Ω_2) = \alpha_1U(Ω_1) + \alpha_2U(Ω_2)$$ $$U([Ω_1,Ω_2]) = [U(Ω_1),U(Ω_2)],$$ тогда как последнее следует из $U(RΩR^{-1}) = U(R)U(Ω)U(R)^{-1} \quad (R ∈ \text{SO(3)}).$

---

Я хочу проверить последнее утверждение, т.е.$Ω \longmapsto U(Ω)$является гомоморфизмом.
Расчетные вопросы:
1) Если я просто рассмотрю$\alpha_1U(Ω_1)$, правильно ли тогда указать:

$$\alpha_1U(Ω_1) = \alpha_1 U(\frac{d}{dt}R_1(t)\bigg|_{t=0})$$ $$\alpha_1U(Ω_1) = \alpha_1\frac{d}{dt}U(R_1(t))\bigg|_{t=0},$$
просто подставив определения?
2) Если это так, могу ли я заключить: $$U(\alpha_1Ω_1 + \alpha_2Ω_2) = U(\frac{d}{dt}(R_1(\alpha_1t)R_2(\alpha_2t))\bigg|_{t=0})\\ \quad= \frac{d}{dt}U(R_1(\alpha_1t)R_2(\alpha_2t))\bigg|_{t=0} = \frac{d}{dt}(U(R_1(\alpha_1t))U(R_2(\alpha_2t)))\bigg|_{t=0} =\alpha_1Ω_1 + \alpha_2Ω_2.$$
3) Я спрашиваю об этом, потому что кто-то еще записал, что:
$$U(Ω_1+\alphaΩ_2) := \frac{d}{dt}U(R_1(t)R_2(\alpha t)\bigg|_{t=0}.$$
4) В общем, я немного запутался в обозначениях, может быть, можно немного это пояснить.

---

Общие вопросы и замечания.
Я до сих пор не понимаю основной концепции представлений.
Позвольте мне вставить несколько слов в эту комнату: Квантовая механика ; правило Борна; Симметрии; проективные представления; Теорема Вигнера; неприводимые представления; собственные состояния; Составные системы и коэффициенты Клебша-Гордана; Теорема Вигнера-Экарта.
Было бы здорово, если бы кто-нибудь изложил мне свою Идею в нескольких строчках, используя слова, данные выше. Я сам позже попробую (пока у меня есть только длинная версия на другом языке, которую я могу выложить позже). Заранее спасибо! :)