Упругое столкновение и пружина

Тела$A$и$B$движутся в одном направлении по прямой с постоянными скоростями по поверхности без трения. Масса и скорость$A$являются$2 \text{kg}$и$10 \text{m/s}$. Масса и скорость$B$являются$6 \text{kg}$и$4 \text{m/s}$. Пружина соединена с задней частью корпуса$B$и его скорость$800 \text{N/m}$.

• Какова скорость$A$относительно$B$до столкновения и после столкновения?

  (Отвечать:$6 \text{m/s}$и$-6 \text{m/s}$)

• Какова относительная скорость между телами, когда пружина достигает максимального сокращения?

  (Отвечать:$0$)

У меня не было проблем с первым вопросом. Мы знаем, что при упругом столкновении коэффициент восстановления равен$1$, поэтому относительные скорости до и после столкновения равны, но противоположны по знаку. Относительная скорость перед столкновением$10-4=6\text{m/s}$.

У меня проблема со вторым вопросом. Я много думал об этом и пришел к противоречию в своих мыслях (конечно, это потому, что я что-то упускаю):

С одной стороны, мне кажется, что при максимальном сжатии пружины вся кинетическая энергия$A$преобразуется в потенциальную упругую энергию и в некоторую долю кинетической энергии$B$(будет двигаться быстрее). Итак, это означает, что$A$не имеет скорости в этот момент, но$B$имеет, поэтому невозможно, чтобы их относительная скорость была равна нулю. Интуитивно это означает, что$A$обладает некоторой кинетической энергией. Итак, это означает, что$A$будет замедляться пружиной до тех пор, пока его скорость не станет равной нулю, и пружина, наконец, сможет вернуться в свое нормальное состояние. Таким образом, кажется, что пружина будет максимально сжата в течение некоторого относительно короткого промежутка времени, пока кинетическая энергия$A$становится нулем. Но что-то мне подсказывает, что я ошибаюсь. Как бы то ни было, я пытался поиграть с законом сохранения энергии и обернуть его вокруг своих мыслей, но это не очень хорошо сработало. Итак, что мне не хватает? Я буду признателен за любую помощь.

Предложенное решение:

Относительная скорость при максимальном сокращении

Момент$A$достигает пружины, пружина будет толкать оба тела в качестве реакции на$A$толчок. Следовательно$A$начнет замедляться, пока$B$начнет набирать большую скорость. Хотя$A$теряет свою кинетическую энергию, его скорость не будет равна нулю в момент максимального сокращения. Это потому что$A$будет продолжать сжимать пружину до тех пор, пока ее скорость больше скорости$B$(и, следовательно, скорость самой пружины). В тот момент, когда их скорости равны,$A$уже не будет «обгонять» пружину, поэтому ее сжатие будет максимальным в этой точке. Следовательно, относительная скорость равна нулю.

Находим максимальное сокращение:

Чистый импульс сохраняется в любой момент времени, поэтому:

$m_A v_A + m_B v_B = (m_A + m_B) V$

В этом конкретном вопросе$V$было бы:$5.5 \text{m/s}$

Мы также знаем, что полная механическая энергия сохраняется (удар абсолютно упругий), поэтому механическая энергия до столкновения (которая состоит только из кинетических энергий) будет равна полной механической энергии во время максимального сокращения. Поэтому:

$\frac{1}{2} m_A v_A^2 + \frac{1}{2} m_B v_B^2 = \frac{1}{2} (m_A + m_B) V^2 + \frac{1}{2} k (\Delta x_{max})^2$

Энергия при максимальном сокращении состоит из кинетических энергий$A$и$B$(которые движутся с одинаковой скоростью) и упругой потенциальной энергии из-за того, что пружина сжимается.

В этом конкретном вопросе$\Delta x_{max}$было бы:

$\Delta x_{max} = \sqrt{\frac{27}{400}} \approx 26 \text{cm}$