Уравнение экспоненциального роста и бактерии

Учитывая ваше предположение:

Я просто смотрю на экспоненциальную часть, где работает простое экспоненциальное уравнение. Если мы предположим, что питательных веществ достаточно для бесконтрольного роста бактерий в течение нескольких часов (более или менее верно в реальной культуре),

В вашей исходной модели вы используете дискретные состояния и фиксированные временные шаги. Итак, если 30 минут - это один временной шаг, то после n шагов у вас есть$2^n$или же$4^{(n/2)}$клетки. Вы в основном считаете двойные шаги, и это нормально. Для непрерывного приближения вы должны оценить скорость следующим образом.

У вас есть уравнение роста первого порядка:

Когда вы интегрируете это уравнение (определенный интеграл), вы получите:

Где$N_f$конечное количество ячеек,$N_i$- начальное количество ячеек и$\tau$это интервал времени.

Когда номер ячейки удваивается, то$\dfrac{N_f}{N_i}=2$а также$\tau=30\ \text{min}$(время удвоения).

Тогда ваша константа скорости будет:$\dfrac{ln(2)}{30}\approx0.023\text{ min}^{-1}$

Через 16 часов (16×30 минут) ваше количество клеток будет:$e^{0.023\times16\times60}\approx 4.27\times10^9$(около 4 млрд).

Так что же в принципе не так? Вы не изменили масштаб своей ставки. Поскольку показатель степени$e$и ты это знаешь$a^x=e^{x.ln(a)}$, все, что вам нужно сделать, это масштабировать константу скорости с помощью$ln(a)$(а=2). Более того, в непрерывной модели у вас нет фиксированных временных шагов. Таким образом, вы также масштабируете константу со временем удвоения.

Настоящая популяция бактерий, скорее всего, достигнет некоторой пропускной способности , которая предотвратит их экспоненциальный рост. Как следствие, экспоненциальная модель будет хорошо подходить только для раннего роста, но через некоторое время потребуется использовать какую-то другую модель (обычно логистическую).

Логистическая модель

Здесь я быстро представляю одну стандартную модель логистического роста для непрерывного (а не дискретного) времени.

, куда$K$является грузоподъемностью. Из приведенной выше модели видно, что когда$N(t)$является низким по сравнению с$K$, то дифференциальное уравнение хорошо аппроксимируется описанной вами экспоненциальной моделью$\frac{dN}{dt} \approx r N(t)$. Параметр$\frac{dN}{dt}=0$показывает, что равновесие достигается, когда$N(t)=0$(неустойчивое равновесие) или$N(t)=K$(устойчивое равновесие).

Эквивалентная модель в дискретной генерации может привести к любому типу поведения, когда$r$достигает достаточно высоких значений, включая циклическое изменение и хаос.

Более продвинутые модели

Есть и другие более реалистичные модели. Например, реальные популяции бактерий могут также потреблять свои ресурсы со скоростью, превышающей скорость, с которой производятся ресурсы, и тогда размер популяции будет уменьшаться и в конечном итоге достигнет исчезновения.

Здесь вы найдете описание модели роста популяции, включающей популяции хищников.

Создайте собственную модель роста населения

Эти модели не так сложно собрать в соответствии с вашими потребностями. Первые главы « Руководства биолога по математическому моделированию в экологии и эволюции» (от Otto and Day) помогут вам построить и проанализировать собственные модели популяционной биологии, если вам это интересно.

Количество$r$должна быть частота, измеряемая в часах$^{-1}$. Поэтому его нельзя измерить в бактериях/час/клетку. Если количество бактерий умножается на 4 каждый час, это означает, что$\exp r= 4,$или же$r= \ln 4$, или 1, 39 в час.