Уравнение падающего тела с конечной скоростью

Во-первых, давайте проясним происхождение различных выражений конечной скорости и скорости как функции времени для падающего тела.

Ожидается, что сила трения будет возрастающей функцией скорости тела, и в результате существует скорость, при которой эта сила точно уравновешивает силу тяжести.$mg$. Теперь, чтобы вычислить эту конечную скорость или восстановить$t\mapsto v(t)$, необходимо знать больше о выражении силы трения. Наиболее распространенные модели этой силы:

• Квадратичный закон,$F = \frac{1}{2}AC_d \rho v^2$. Это те же переменные, что и в вашем вопросе. С$C_d$примерно постоянен в режиме высоких скоростей,$v^2$множитель приблизительно учитывает всю зависимость от скорости, а сила пропорциональна$v^2$. Мы также можем написать$F = K_{square}v^2$. Но тогда это относится к достаточно быстрым движениям, для которых число Рейнольдса$Re$большой. Поскольку он пропорционален обратно вязкости среды, а атмосферный воздух не очень вязкий/плотный,$Re$эффективно велико для большинства экспериментов с падением в воздухе, и это правильное выражение для$F$
• Линейный закон,$F = K_{linear}v$. Эти законы применимы к низкоскоростному режиму и в основном относятся к жидкостям с высокой вязкостью.

Хотя первое выражение действительно дает то же выражение, которое вы использовали для конечной скорости (квадратный корень получается из квадратной мощности на$v$в$F(v)$), это не согласуется с экспоненциальной зависимостью от времени. Правильное выражение, данное википедией :

$$v(t) = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A C_d} } \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho C_d A}{2 m}} \right)$$ Экспоненциальное изменение скорости во времени можно получить, используя линейное выражение для силы (тогда уравнение движения представляет собой линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка в $t\to v(t)$).

Вы можете интегрировать правильное выражение для$v(t)$восстановить расстояние падения со временем (оно будет иметь вид$d(t) \propto \ln (\cosh (t/\tau))$)

Что касается вашего сравнения в http://i.stack.imgur.com/j7Uhh.png , это не имеет смысла, поскольку вы сравниваете скорость (которая стремится к константе) с расстоянием ($\frac{1}{2}gt^2$).

Итак, я думаю, что у меня есть ответ, но я не совсем уверен, что он правильный.

Друг (спасибо, Рикки!) указал мне на несколько мест в Интернете, где люди решили эту проблему:

• Падение тела с сопротивлением воздуха
• Графики скорость-время для падающих объектов
• Расчет времени достижения определенной скорости с силой сопротивления

Каждый график$v(t)$против.$t$выглядит примерно так:

и следует формуле:

$$v(t) = v_t\cdot(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$$

где$\tau=\frac{v_t}{g}$и$v_t$- постоянная конечной скорости, рассчитанная в моем первоначальном вопросе.

Примечание: позиция определяется путем интеграции этой формулы, которая дает вам:

$$y(t) = v_t \cdot (t + \tau \cdot (e^{-\frac{t}{\tau}}-1))$$

Так что пока это выглядит хорошо, и, вероятно, это максимально близко к тому, что я собираюсь получить, не вдаваясь в сумасшедшую математику, но часть, которая меня не устраивает, это когда эта функция скорости отображается на графике с идеальным$\frac{1}{2}gt^2$функция:

Идеальная функция быстрее идеальной функции в течение первых ~1,5 секунд. Для меня это не имеет интуитивного смысла - как добавление силы сопротивления может изначально увеличить скорость?

Несмотря ни на что, я проведу полевые работы, соберу экспериментальные данные о сбрасывании камешков с высоких и низких мест и придумаю гибридную функцию, максимально приближенную к реальности. Я могу закончить тем, что выполняю кусочную функцию, которая использует идеальную функцию в течение первых 1,5 секунд, а затем переключается на эту новую асимптотическую функцию.

Я бы начал с измерения гальки и взвешивания ее, чтобы определить ее размер. Затем я спрашивал: «Я просто бросаю его», как Галилей, или я пытаюсь сделать вывод, основанный на броске, а затем оценке последствий приземления.

Если первое, то вы должны просто получить число, так как независимо от размера камня все они падают с одинаковой скоростью.