Уравнение пространственной волны импульса свободной частицы: постоянные множители

Question

Уравнение пространственной волны импульса свободной частицы: постоянные множители

Мяу

Я пытаюсь решить проблему 3.12 в «Введении в квантовую механику, 3-е изд.» DJ Griffiths; это выглядит следующим образом:

Найдите [уравнение импульса пространственной волны] $\Phi(p,t)$ для свободной частицы в терминах $\phi(k)$ .

$\phi(k)$ определяется в уравнении пространственной волны одномерного положения свободной частицы

Ψ (Икс, т) "=" \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ф (к) е^{я к Икс} е^{- я \frac{ℏ к^{2}}{2 м} т} г к

$\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi(k)e^{ikx}e^{-i\frac{\hbar k^2}{2m}t}dk$

как

ф (к) "=" \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} Ψ (Икс, 0) е^{- я к Икс} г Икс

$\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}dx$

То есть, если мы используем определение преобразования Фурье, где $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\mp ikx}$ используется в подынтегральных выражениях для преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье соответственно (меня всегда учили $e^{\mp 2\pi isx}$ , но я сверну с масштабированием Гриффитса), то $\phi(k)$ на самом деле просто преобразование Фурье для начального состояния волнового уравнения в пространстве положений.

Теперь проблема, с которой я сталкиваюсь, заключается в следующем: если я использую способ преобразования Гриффитса $\Psi(x,t)$ к $\Phi(p,t)$ (пространство положения к уравнению пространственной волны импульса), т.е.

Φ (п, т) "=" \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{+ \infty} Ψ (Икс, т) е^{- я \frac{п}{ℏ} Икс} г Икс

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int^{+\infty}_{-\infty}\Psi(x,t)e^{-i\frac{p}{\hbar}x}dx$

я получил

Φ (п, т) "=" \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{+ \infty} (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ф (к) е^{я к Икс} е^{- я \frac{ℏ к^{2}}{2 м} т} г к) е^{- я \frac{п}{ℏ} Икс} г Икс

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int^{+\infty}_{-\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi(k)e^{ikx}e^{-i\frac{\hbar k^2}{2m}t}dk\right)e^{-i\frac{p}{\hbar}x}dx$

Моя интуиция подсказывает, что две экспоненты должны просто уравновешиваться, и поэтому единственный способ упростить выражение, который я вижу, — это предположить, что $p=\hbar k$ (Я стараюсь быть очень осторожным с этой заменой, потому что она часто вызывает проблемы с постоянными факторами). Я получил:

Φ (п, т) "=" \frac{1}{\sqrt{ℏ}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ф (\frac{п}{ℏ}) е^{я \frac{п}{ℏ} Икс} е^{- я \frac{п^{2}}{2 м ℏ} т} г (\frac{п}{ℏ})) е^{- я \frac{п}{ℏ} Икс} г Икс

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi\left(\frac{p}{\hbar}\right)e^{i\frac{p}{\hbar}x}e^{-i\frac{p^2}{2m\hbar}t}d\left(\frac{p}{\hbar}\right)\right)e^{-i\frac{p}{\hbar}x}dx$

Внутренний интеграл выполняет обратное преобразование Фурье, внешний - преобразование Фурье, поэтому они сокращаются, чтобы получить:

Φ (п, т) "=" \frac{1}{\sqrt{ℏ}} ф (\frac{п}{ℏ}) е^{- я \frac{Е}{ℏ} т}

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{\hbar}} \phi\left(\frac{p}{\hbar}\right) e^{-i\frac{E}{\hbar}t}$

Это хорошо и все такое, но я читал и мне говорили об этом раньше $\phi(k)$ - уравнение пространственной волны импульса, не зависящее от времени, аналогичное $\psi(x)$ , не $\frac{1}{\sqrt{\hbar}}\phi(k)$ . Каким должен быть коэффициент масштабирования? я чувствую $p=\hbar k$ либо не всегда применим, либо это можно сделать только при добавлении дополнительных множителей перед интегралами Фурье (даже если переменная интегрирования $x$ и масштабирование, таким образом, на самом деле не связано с заменой $dx$ ).

(Я посмотрел здесь , но это не дает мне никаких ответов.)

Прахар

Это неправильно.

k

$k$ здесь является переменной интегрирования, тогда как

p

$p$ является постоянным параметром. Что вам нужно сделать, это выполнить интеграцию по

x

$x$ сначала, а затем сделать интеграл по

k

$k$ .

Ответы (3)

Уравнение пространственной волны импульса свободной частицы: постоянные множители

Это неправильно. $k$ здесь является переменной интегрирования, тогда как $p$ является постоянным параметром. Что вам нужно сделать, это выполнить интеграцию по $x$ сначала, а затем сделать интеграл по $k$ .

ZeroTheHero · Answer 1

Проблема в том, что вы используете смешанные переменные $k$ и $p$ . Во-первых, лучше подумать о

\begin{aligned} ⟨ Икс | п ⟩ & "=" \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} е^{- я п Икс / ℏ}, ⟨ п | Икс ⟩ "=" ⟨ Икс | п ⟩^{*} "=" \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} е^{+ я п Икс / ℏ} \end{aligned}

$\begin{align} \langle x\vert p\rangle &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-i p x/\hbar}\, ,\qquad \langle p\vert x\rangle = \langle x\vert p\rangle^* =\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{+i p x/\hbar} \end{align}$ что оправдывает симметричное размещение

\sqrt{2 π ℏ}

$\sqrt{2\pi \hbar}$ фактор, но с другой стороны

\begin{aligned} ⟨ Икс | к ⟩ & "=" \frac{1}{\sqrt{2 π}} е^{- я к Икс}, ⟨ к | Икс ⟩ "=" ⟨ Икс | к ⟩^{*} "=" \frac{1}{\sqrt{2 π}} е^{+ я к Икс} \end{aligned}

$\begin{align} \langle x\vert k\rangle &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i k x }\, ,\qquad \langle k\vert x\rangle = \langle x\vert k\rangle^* =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{+i k x} \end{align}$ так что

\begin{aligned} Ψ (п, т) & "=" ⟨ п | ψ ⟩ "=" \int г Икс ⟨ п | Икс ⟩ ⟨ Икс | Ψ (т) ⟩ "=" \int г Икс \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} е^{я п Икс / ℏ} Ψ (Икс, т), \\ Ψ (к, т) & "=" ⟨ к | ψ ⟩ "=" \int г Икс ⟨ к | Икс ⟩ ⟨ Икс | Ψ (т) ⟩ "=" \int г Икс \frac{1}{\sqrt{2 π}} е^{я к Икс} Ψ (Икс, т), \\ "=" \sqrt{ℏ} Ψ (п, т), \end{aligned}

$\begin{align} \Psi(p,t)&=\langle p\vert \psi\rangle = \int dx \langle p\vert x\rangle \langle x\vert \Psi(t)\rangle = \int dx \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}\Psi(x,t)\, ,\\ \Psi(k,t)&=\langle k\vert \psi\rangle = \int dx \langle k\vert x\rangle \langle x\vert \Psi(t)\rangle = \int dx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}\Psi(x,t)\, ,\\ &= \sqrt{\hbar} \,\Psi(p,t)\, , \end{align}$ где единичный оператор

\begin{aligned} \hat{1} "=" \int г Икс | Икс ⟩ ⟨ Икс | \end{aligned}

$\begin{align} \hat 1=\int dx \vert x\rangle \langle x\vert \end{align}$ был использован.

Роджер Вадим · Answer 2

Роджер Вадим

Как правильно указал @Prahar, при приравнивании переменной интегрирования возникает чисто математическая ошибка $k$ с внешней переменной $p$ . Использование двух разных символов (например, $k$ и $k'$ ) будет правильным подходом.

Кроме того, ключом к решению является использование представления Фурье $\delta$ -функция (после изменения порядка интегрирования):

\int_{- \infty}^{+ \infty} г Икс е^{я (к - \frac{п}{ℏ}) Икс} "=" 2 π дельта (к - \frac{п}{ℏ}) .

$\int_{-\infty}^{+\infty}dxe^{i(k-\frac{p}{\hbar})x} = 2\pi\delta(k - \frac{p}{\hbar}).$

Примечание.
Масштабирование Гриффитса в преобразовании Фурье обычно используется в физике как в пространстве ( $k$ ) и по времени ( $\omega$ ) трансформируется. Кроме того, не удивляйтесь, увидев дифференциалы, написанные сразу после знака интегрирования, перед подынтегральным выражением, как это сделал я, хотя это более типично для квантовой механики.

Мяу

Этот ответ больше всего помог мне понять, в чем была моя ошибка. Тем не менее, я все еще получаю то же решение:

Φ (п, т) "=" \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \frac{1}{\sqrt{2 π} ℏ} \int_{- \infty}^{+ \infty} ф (\frac{к^{'}}{ℏ}) е^{- я \frac{к^{' 2}}{2 м ℏ} т} \cdot [\int_{- \infty}^{+ \infty} е^{я \frac{к^{'} - п}{ℏ} Икс} г Икс] г к^{'}

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\hbar}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi\left(\frac{k'}{\hbar}\right)e^{-i\frac{k'^2}{2m\hbar}t}\cdot\left[\int^{+\infty}_{-\infty}e^{i\frac{k'-p}{\hbar}x}dx\right]dk'$

"=" \frac{1}{\sqrt{ℏ}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ф (к) е^{- я \frac{ℏ к^{2}}{2 м} т} дельта (к - \frac{п}{ℏ}) г к

$= \frac{1}{\sqrt{\hbar}}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi(k)e^{-i\frac{\hbar k^2}{2m}t}\delta(k-\frac{p}{\hbar})dk$ Оставшийся фактор, похоже, соответствует тому, что говорил @ZeroTheHero, но я не знаю, как я мог бы получить решение, если бы

p

$p$ вместо

p / ℏ

$p/\hbar$ .

Роджер Вадим

@Mew, это о преобразовании переменной функции вероятности. Вероятность импульса в интервале

[p, p + d p]

$[p, p+dp]$ является

| Φ (п, т) |^{2} г п "=" | Φ (к, т) |^{2} г к "=" | Φ (к, т) |^{2} г \frac{п}{ℏ},

$|\Phi(p,t)|^2dp = |\Phi(k,t)|^2dk = |\Phi(k,t)|^2d\frac{p}{\hbar},$ то есть

| Φ (п, т) |^{2} "=" \frac{1}{ℏ} | Φ (к, т) |^{2},

$|\Phi(p,t)|^2 = \frac{1}{\hbar}|\Phi(k,t)|^2,$ и поэтому

Φ (п, т) "=" \frac{1}{\sqrt{ℏ}} Φ (к, т) .

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{\hbar}}\Phi(k,t).$

Биофизик · Answer 3

Импульс $p$ и волновое число $k$ на самом деле связаны $p=\hbar k$ . Поскольку они просто отличаются на константу, обычно считается, что оба они описывают импульс квантовых систем (особенно если вы работаете с $\hbar=1$ ).

Заметим, что это следует непосредственно из соотношения де Бройля $p=hf=2\pi\hbar/\lambda=\hbar k$ ,

Уравнение пространственной волны импульса свободной частицы: постоянные множители

Мяу

Прахар

Ответы (3)

ZeroTheHero

Роджер Вадим

Мяу

Роджер Вадим

Биофизик

Действие оператора импульса на волновую функцию в импульсном пространстве

Вывод оператора импульса в квантовой механике

Импульсное состояние частицы

Попытка сначала понять основы положения и импульса в квантовой механике.

Преобразование Фурье реальной начальной волновой функции

Был ли принцип неопределенности выведен анализом Фурье?

Выражение волнового пакета и преобразования Фурье

Что такое квадрат оператора импульса P^P^\hat{P} в двух измерениях?

Какова связь между волновыми функциями положения и импульса в квантовой физике?

Восстановление фаз «волновой функции» по |ψ(x)||ψ(x)||\psi(x)| и |ψ~(p)||ψ~(p)||\тильда \psi(p)|