Какова связь между волновыми функциями положения и импульса в квантовой физике?

Question

Какова связь между волновыми функциями положения и импульса в квантовой физике?

Адрианос

Я читал в паре мест, что $\psi(p)$ и $\psi(q)$ являются преобразованиями Фурье друг друга (например, Пенроуза). Но разве преобразование Фурье не является просто разложением функции в сумму или интеграл других функций? В то время как волновые функции положения и импульса существенно различны, но связаны между собой. Они должны сохранять значения ожиданий, как отношения классической механики, $<p>=m~\frac{d<q>}{dt}$ (где $<p>$ и $<q>$ теперь являются ожидаемыми значениями).

Например, волновой пакет импульса, который имеет постоянное положительное математическое ожидание во времени, подразумевает волновой пакет положения, который перемещается во времени в каком-то направлении. Просто сказать, что есть преобразование Фурье, кажется, скрыть это важное соотношение.

Костя

Я более-менее согласен. Но это не вопрос.

Ответы (3)

Какова связь между волновыми функциями положения и импульса в квантовой физике?

Я более-менее согласен. Но это не вопрос.

Любош Мотл · Answer 1

Уважаемый пользователь1602, да, $\psi(x)$ и $\tilde\psi(p)$ являются преобразованиями Фурье друг друга. Это отвечает на единственный реальный вопрос, который вы задали. Таким образом, если кто-то знает точную волновую функцию как функцию положения, он также знает волновую функцию как функцию импульса, и наоборот.

В частности, не существует «волновой функции», которая зависела бы как от $x$ и $p$ . Действительно, такая «волновая функция» нарушила бы основной принцип квантовой механики — принцип неопределенности.

Волновая функция зависит только от $x$ или это зависит только от $p$ - помнит все, что частица может и должна помнить о своем положении и импульсе. Например, хорошая волновая функция, описывающая частицу, локализованную вокруг $x_0$ и двигаться с импульсом вокруг $p_0$ дан кем-то

ψ_{{Икс}_{0}, п_{0}} (Икс) "=" С опыт (- К (Икс - {Икс}_{0})^{2} + я п_{0} Икс / ℏ)

$\psi_{x_0,p_0}(x) = C \exp\left(-K(x-x_0)^2 + ip_0 x/\hbar\right)$ Постоянная

K

$K$ определяет ширину, но вы видите, что из-за квадратичного члена волновая функция не обращается в нуль только вблизи

x_{0}

$x_0$ . С другой стороны,

i p x

$ipx$ термин гарантирует, что частица движется вправо с правильным импульсом. Все это закодировано в изменяющейся фазе волновой функции. Чем быстрее наступает фаза

ψ (x)

$\psi(x)$ меняется с

x

$x$ , тем больше импульс частицы. Если фаза вращается по часовой или против часовой стрелки, частица движется вправо или влево соответственно.

Преобразование Фурье приведенной выше волновой функции выглядит примерно так:

{\tilde{ψ}}_{{Икс}_{0}, п_{0}} (п) "=" С^{'} опыт (- (п - п_{0})^{2} / К^{'} - я п {Икс}_{0} / ℏ)

$\tilde \psi_{x_0,p_0}(p) = C' \exp\left(-(p-p_0)^2/K' - ip x_0/\hbar\right)$ Просто попробуйте. Уравнение Шрёдингера гарантирует, что волновой пакет движется в правильном направлении и с нужной скоростью, закодированной в

p_{0}

$p_0$ , и соответственно изменится положение центра масс пакета. Константы нормализации

C, C^{'}

$C,C'$ физически не имеют значения, но могут быть выбраны для нормализации векторов состояния к единице. Параметры

K, K^{'}

$K,K'$ задающие ширину равны, с точностью до умножения на числовую константу и степень

ℏ

$\hbar$ : но это правда, что ширина в

x

$x$ представление обратно ширине в

p

$p$ представление. Это также подразумевается принципом неопределенности.

Неправда, что нужны «волновые функции», которые зависели бы как от положения, так и от импульса. Весь смысл принципа неопределенности в том, что вы можете задавать амплитуды только по отношению к одной из этих величин — другая с ней не коммутирует. Если выбрать $\psi(x)$ , оператор положения — это умножение на $x$ и импульс $p$ это просто оператор $-i\hbar\partial/\partial x$ . Точно так же для $\tilde\psi(p)$ , оператор импульса есть умножение на $p$ и оператор положения $x$ равно $+i\hbar \partial/\partial p$ . Он довольно симметричен относительно $x,p$ .

Я думаю, что я не понял, что две функции выражают одно и то же состояние в разных терминах.
Да, @ user1602, это просто другой выбор базы для выражения одного и того же вектора состояния (в этом случае обе базы «непрерывны», поэтому суммы по базам заменяются интегралами, но логика та же).

Рафаэль · Answer 2

Если у вас есть состояние $|\psi\rangle$ , волновая функция положения:

⟨ \vec{Икс} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} \langle \vec{x}\mid \psi\rangle \end{equation}$

а волновая функция импульса:

⟨ \vec{п} ∣ ψ ⟩ "=" \int г \vec{Икс} ⟨ \vec{п} ∣ \vec{Икс} ⟩ ⟨ \vec{Икс} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} \langle \vec{p}\mid \psi\rangle = \int\;d\vec{x}\; \langle\vec{p}\mid\vec{x}\rangle\langle \vec{x}\mid\psi\rangle \end{equation}$

Причина, по которой эти два выражения «различны, но связаны», та же самая, почему они сохраняют ожидаемые значения. Это называется отношением полноты $\int\; d\vec{x}\;\mid\vec{x}\rangle\langle\vec{x}\mid = 1$ , $\int\; d\vec{p}\;\mid\vec{p}\rangle\langle\vec{p}\mid = 1$ :

\int г \vec{Икс} г {\vec{Икс}}^{'} ⟨ ψ ∣ \vec{Икс} ⟩ ⟨ \vec{Икс} ∣ А ∣ {\vec{Икс}}^{'} ⟩ ⟨ {\vec{Икс}}^{'} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} \int\;d\vec{x}\; d\vec{x}^{\prime} \langle \psi\mid\vec{x}\rangle\langle\vec{x}\mid A\mid\vec{x}^{\prime}\rangle\langle\vec{x}^{\prime}\mid\psi\rangle \end{equation}$

"=" \int г \vec{Икс} г {\vec{Икс}}^{'} г \vec{п} г {\vec{п}}^{'} ⟨ ψ ∣ \vec{п} ⟩ ⟨ \vec{п} ∣ \vec{Икс} ⟩ ⟨ \vec{Икс} ∣ А ∣ {\vec{Икс}}^{'} ⟩ ⟨ {\vec{Икс}}^{'} ∣ {\vec{п}}^{'} ⟩ ⟨ {\vec{п}}^{'} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} =\int\;d\vec{x}\; d\vec{x}^{\prime}\; d\vec{p}\; d\vec{p}^{\prime} \langle \psi\mid\vec{p}\rangle\langle \vec{p}\mid\vec{x}\rangle\langle\vec{x}\mid A\mid\vec{x}^{\prime}\rangle\langle \vec{x}^{\prime}\mid\vec{p}^{\prime}\rangle\langle\vec{p}^{\prime}\mid\psi\rangle \end{equation}$

"=" \int г \vec{п} г {\vec{п}}^{'} ⟨ ψ ∣ \vec{п} ⟩ ⟨ \vec{п} ∣ А ∣ {\vec{п}}^{'} ⟩ ⟨ {\vec{п}}^{'} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} =\int\; d\vec{p}\; d\vec{p}^{\prime} \langle \psi\mid\vec{p}\rangle\langle\vec{p}\mid A\mid\vec{p}^{\prime}\rangle\langle\vec{p}^{\prime}\mid\psi\rangle \end{equation}$

Лахи · Answer 3

Я думаю, что главное, что вас здесь беспокоит, это то, что вы понимаете под преобразованием Фурье. Когда вы говорите: «Но разве преобразование Фурье не является просто разложением функции в сумму или интеграл других функций?» Я думаю, вы путаете «преобразование Фурье» и «ряд Фурье». Фурье был довольно плодовитым парнем, и, как это всегда бывает, многие вещи, названные в честь одного и того же человека, могут сбивать с толку. В любом случае, теперь у вас есть ответ. Если вы не можете понять, как вычислить преобразование Фурье, используя приведенные выше ответы (оба из которых верны), поищите в Интернете несколько примеров. Это невероятно мощный инструмент :)

Какова связь между волновыми функциями положения и импульса в квантовой физике?

Адрианос

Костя

Ответы (3)

Любош Мотл

Адрианос

Любош Мотл

Рафаэль

Лахи

Попытка сначала понять основы положения и импульса в квантовой механике.

Преобразование Фурье реальной начальной волновой функции

Был ли принцип неопределенности выведен анализом Фурье?

Выражение волнового пакета и преобразования Фурье

Восстановление фаз «волновой функции» по |ψ(x)||ψ(x)||\psi(x)| и |ψ~(p)||ψ~(p)||\тильда \psi(p)|

Может ли физическая волновая функция быть негладкой или даже прерывистой?

Нахождение ψ(x,t)ψ(x,t)\psi(x,t) для свободной частицы, начиная с профиля гауссовой волны ψ(x)ψ(x)\psi(x)

Действие оператора импульса на волновую функцию в импульсном пространстве

Уравнение Шредингера в импульсном пространстве в обозначениях Дирака

О чем говорит принцип неопределенности Гейзенберга?