Действие оператора импульса на волновую функцию в импульсном пространстве

В приведенных выше выражениях$p$является волновой функцией в импульсном пространстве, но$\hat p$является оператором в$x$то есть$\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$, так может ли он действовать и на волновую функцию импульсного пространства?

$p$не является волновой функцией. Волновая функция выражается в основе$|p\rangle$как$\langle p | \psi \rangle \equiv \psi(p)$. В представлении импульсного пространства$\hat p$остается тем же оператором, просто он выглядит по-другому, потому что мы изменили нашу основу. В этом случае действие$\hat p$на$\psi(p)$просто умножение на$p$. Оператор$\hat p$не "в$x$", как если бы он был определен только в позиционном пространстве. Скорее , представление$\hat p$в основе положения определяется как$\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$; в разных представлениях она будет разной.

Также является$\langle p | \psi \rangle$определенный? Если да, то какова его ценность?

Да. Это определено как$\psi(p)$таким же образом$\langle x | \psi \rangle \equiv \psi(x)$.

Наконец, как мы идем от$\langle p | \hat p \hat x |\psi \rangle$к$p\langle p | \hat x |\psi \rangle$

$|p\rangle$является собственной функцией$\hat p$с собственным значением$p$, следовательно, мы можем взять$\big[\langle p | \hat p \big]\hat x |\psi \rangle = \big[\langle p | p \big]\hat x |\psi \rangle$, где я снял шляпу$\hat p$. Тогда мы просто тянем$p$вне.

$\langle p | \psi \rangle$представляет собой волновую функцию, выраженную в импульсном базисе:$\psi (p)$. Ничего больше нельзя сказать об этом, если не будет предоставлен дополнительный контекст.

Главное, оператор$\hat{p}$может быть выражено в любом базисе, позиционное пространство, как вы его определили в своем ответе, является только одним из возможных базисов.

Наконец, оператор импульса, действующий на волновую функцию, выраженную в импульсном пространстве, вернет импульс частицы (я предполагаю, что это одночастичная волновая функция) и не изменит волновую функцию, потому что это собственная функция оператора импульса:

$\hat{p} \space \psi (p) = p \space \psi (p)$

В ответе два элемента. Во-первых, понять, что такое$\psi(p)$а другое действие$\hat p$на таких функциях.

Понимать$\psi(p)$, проще всего обратиться к этому вопросу и адаптировать ответ, чтобы подумать о$\psi(p)=\langle p\vert \psi\rangle$. Так же, как$\vert x_0\rangle$таков, что$\hat x\vert x_0\rangle=x_0\vert x_0\rangle$, у нас есть$\vert p_0\rangle$такой, что$\hat p\vert p_0\rangle=p_0\vert p_0\rangle$, т.е. состояния$\vert p’\rangle$являются собственными состояниями оператора$\hat p$с собственным значением$p’$.

Сейчас,$\hat p\psi(p)$по определению

$$\hat p\psi(p)\equiv \langle p\vert \hat p\vert\psi\rangle\, .$$ Остальное просто манипуляции: $$\begin{align} \langle p\vert p\vert\psi\rangle =\langle \psi\vert \hat p^\dagger \vert p\rangle^* &=\langle \psi\vert\hat p\vert p\rangle^* \qquad \qquad \hbox{since $\hat p$ is hermitian}\, ,\\ &=p\langle \psi\vert p\rangle^* \qquad \qquad \hbox{since eigenvalues of $\hat p$ are real}\, ,\\ &=p\langle p\vert\psi\rangle = p\psi(p)\, . \end{align}$$ Другими словами, так же, как$\hat x$умножение на$x$ по функциям$\psi(x)$из$x$,$\hat p$умножение на$p$ по функциям$\psi(p)$.

Интересная часть состоит в том, чтобы получить действие$\hat x$по функциям$\psi(p)$. Это делается путем преобразования из$p$-представление перед$x$-представление с использованием основного выражения

$$\langle x\vert p\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i x p/\hbar}$$ что следует из того, что состояния с определенным импульсом$\vert p\rangle$выражаются как плоская волна в пространстве,$e^{i x p/\hbar}$. Фактор$1/\sqrt{2\pi}$это для удобства, поскольку плоские волны не могут быть нормализованы. С этим: $$\hat x\psi(p)\equiv \langle p\vert \hat x \vert \psi\rangle \tag{1}$$ Вставив теперь единичный оператор как сумму по всем$\vert x\rangle$прогнозы: $$\hat 1=\int dx \vert x\rangle \langle x\vert$$ преобразует (1) в $$\begin{align} X\psi(p)&=\int dx’ \langle p\vert \hat x \vert x’\rangle \langle x’\vert\psi\rangle\, ,\\ &=\int dx’ x’ \langle p\vert x’\rangle\langle \psi\rangle \, ,\\ &= \int dx’ x’ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-i x’ p/\hbar} \psi(x)\, ,\\ &=i\hbar\frac{\partial}{\partial p} \int dx’ \langle p\vert x’\rangle\langle x’\vert\psi\rangle\, ,\\ &=i\hbar \frac{\partial}{\partial p} \langle p\vert \psi\rangle \, ,\tag{2}\\ &=i\hbar \frac{\partial}{\partial p}\psi(p)\, . \tag{3} \end{align}$$ Там есть ряд математически нечетких шагов, но это основная идея. В (2) я использовал$\int dx’ \vert x’\rangle\langle x’\vert=\hat 1$чтобы избавиться от интеграла, и я также предположил, что можно «вытащить» производную w/r до$p$вне интеграла, так как я интегрирую по$x’$но взяв производную по отношению к$p$.

Обратите внимание на важную разницу в знаках между (3) и более распространенным действием$\hat p$на$\psi(x)$.

Ваш окончательный запрос следует с помощью

$$\langle p\vert \hat p \hat x\vert\psi\rangle = \langle \psi \hat x\hat p\vert p\rangle ^* = p\langle p\vert \hat x\vert\psi\rangle$$ где я использовал отшельничество$\hat x$и$\hat p$, и действительность собственного значения$p$.

Обозначение Дирака$|p\rangle$Значит это$|p\rangle$является собственным состоянием оператора импульса$\hat p$с собственным значением$p$:

$$\hat p |p\rangle = p |p\rangle .$$ Если$|\psi\rangle$является собственным состоянием$\hat p$с собственным значением$p^{\prime}$(т.е. если это плоская волна$\propto exp(i p^{\prime} x/\hbar)$),$\langle p|\psi\rangle = \delta(p-p^{\prime})$. Если$|\psi\rangle$не является собственным состоянием по импульсу, его все же можно разложить по собственным состояниям по импульсу: $$|\psi\rangle = \sum_p |p\rangle \cdot \langle p|\psi \rangle .$$ (В приведенном выше уравнении используется тот факт, что$\sum_p |p\rangle\langle p|$является личностью.)$\langle p|\psi\rangle$является проекцией$|\psi\rangle$на собственное состояние импульса$|p\rangle$(обычно просто пишется как$\psi(p)$).

С$|p\rangle$является собственным состоянием (точнее, собственным набором)$\hat p$с собственным значением$p$, так же как и эрмитово сопряжение$\langle p|$($\langle p|$— соответствующая собственная бра в обозначениях Дирака). Переход от$\langle p|\hat p \hat x|\psi\rangle$к$p\langle p|\hat x|\psi\rangle$использует это$\langle p|$является собственной бра оператора импульса$\hat p$, и один позволяет$\hat p$действуй налево($\langle p| \hat p = p \langle p|$), чтобы можно было вытащить собственное значение$p$из скалярного произведения.