Вывод оператора импульса в квантовой механике

Мне просто интересно, как мы на самом деле получаем оператор импульса в квантовой механике.

Насколько я понял, мы утверждаем, что для свободной частицы ее амплитуда вероятности должна быть везде постоянной. Поэтому мы могли бы написать

ψ "=" А е я п мю Икс мю .

Тогда видно, что наш оператор импульса должен быть п ^ мю "=" я ∂ мю (обратите внимание, что я использовал подпись ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) ).

Откуда мы это знаем п мю в волновой функции на самом деле является 4-импульсом (поскольку наше предположение состоит только в том, что амплитуда вероятности постоянна и ничего больше, поэтому волновая функция может быть экспоненциальной любого чистого комплексного числа). Во-вторых, мы выводим этот оператор только для свободной частицы. Откуда мы знаем, что это будет работать для общей волновой функции?

Ответы (2)

Аргумент тот же самый в нерелятивистской или релятивистской КМ.

  1. Плоские волны имеют определенный импульс и имеют указанную форму: ψ ∼ А е − я ( п Икс − ю т ) (в 1+1).
  2. Поскольку они имеют определенный импульс, постулируется оператор п ^ такой, что
    п ^ ψ "=" п ψ .
  3. Используя явную форму ψ это видно
    п ^ ↦ я ∂ ∂ Икс
    Тот же аргумент справедлив для временной составляющей вашего п мю .
  4. Найдя п ^ для плоской волны предполагается , что это должно оставаться верным для произвольных потенциалов.

Альтернативный (но не полностью независимый, поскольку этот вдохновил Шредингера) подход состоит в том, чтобы понять, что в формулировке классической механики Гамильтона-Якоби операторы импульса отображаются в частные производные w/r в сопряженных позициях, т.е. п → ∂ ∂ Икс в ХЖ. Это остается верным независимо от потенциала, поддерживая постулат о том, что п ^ ↦ я ∂ Икс должны оставаться верными независимо от потенциала.

В конечном счете, эти «догадки» апостериорно подтверждаются решениями уравнения Шредингера.

Они все еще не отвечают на мой вопрос. Откуда мы знаем, что для свободной частицы волновая функция должна быть именно такой, а не просто ψ "=" А е я ф когда ф является действительным числом (поэтому п в волновой функции — это не импульс частицы). Кроме того, я не совсем уверен, что это должно быть верно для произвольных волновых функций. У вас есть строгое доказательство этого утверждения?
Свободная частица с заданным импульсом описывается выражением А е я ( п Икс − ю т ) , не по А е я ф . Эта последняя форма не является свободно распространяющейся волной. Я не уверен, что вы подразумеваете под «это должно быть верно для произвольных волновых функций». Я не знаю строгого доказательства (и я не знаю, что строгое доказательство существует) п ^ → я ∂ Икс помимо того факта, что «было показано, что это работает» все это время.
Итак, почему волновая функция свободной частицы должна быть А е я ( п Икс − Е т ) нет А е я ( а п Икс − а Е т ) где а просто константа. Мы можем видеть, что эти две волновые функции дают точно такое же соотношение дисперсии, но наш оператор импульса изменится в множитель а .
Твой а будет безразмерным; это коэффициент масштабирования, который может быть поглощен переопределением Икс "=" а Икс и Т "=" а т .
Если вы сделаете это таким образом, наш позиционный оператор Икс ^ также изменится в зависимости от коэффициента а .
Конечно... но это всего лишь масштабный фактор. Вы можете определить Икс "=" 1000 Икс и измерять вещи в километрах, а не в метрах ... Я все равно не уверен, куда вы идете с этим ... Конечно, плоская волна ∼ е я ( п Икс − ю т ) . Кроме того, все меняется, если вы работаете в подразделениях, где ℏ ≠ 1 ... и вы не беспокоитесь об этом.
Я имел в виду, что а здесь нет единицы -> значит Икс "=" 1000 Икс не просто меняет единицу измерения, но фактически расширяет шкалу длины в тысячу раз.

The п мю в экспоненте - истинный 4-вектор импульса. Это компактная форма для записи 4 различных спектральных значений 4 операторов импульса, в то время как последние являются генераторами алгебры Ли подгруппы пространственно-временных трансляций ограниченной группы Пуанкаре. Спектральное уравнение п ^ мю ψ "=" п мю ψ справедливо в (оснащенном одной частицей) гильбертовом пространстве, которое несет неприводимое представление подгруппы трансляций. Подгруппа трансляций в плоском 4D пространстве-времени или вообще ограниченная симметрия Пуанкаре известна/доказана как точная симметрия только в случае свободных квантовых теорий поля в 4D.

Вывод оператора импульса в квантовой механике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v