Выражение волнового пакета и преобразования Фурье

Я прочитал в статье Википедии о волновых пакетах , что волновой пакет определяется как:

(а) ψ ( Икс , т ) "=" 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ г ( к ) е я ( к Икс − ю т ) г к
где
(б) г ( к ) "=" 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ψ ( Икс , 0 ) е − я к Икс г Икс
Теперь я хотел бы математически понять, откуда берутся эти формулы.

В качестве начального примера, если вы поместите т "=" 0 в ( а ) , вы получаете

(с) ψ ( Икс , 0 ) "=" 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ г ( к ) е я к Икс г к
и
(г) г ( к ) "=" 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ψ ( Икс , 0 ) е − я к Икс г Икс ,
и эти две последние формулы очевидны − это теорема обратного преобразования Фурье.

Однако я не понимаю, где ( а ) происходит от. Я подумал, что, может быть, ( а ) был выражен как обратное преобразование Фурье функции двух переменных ψ ( Икс , т ) , но в этом случае я получаю

(е) ψ ( Икс , т ) "=" 1 2 π ∬ р 2 Ф [ ψ ( Икс , т ) ] ( ж , к ) е я ( к Икс + ю т ) г к г ю ,
что отличается от ( а ) . Итак, наконец, мой вопрос: откуда ( а ) происходит от?

Читать где? Какая книга? Как немного отличается? Разница между какими двумя формулами? Вы спрашиваете о знаковых соглашениях и т. д.?
@Qmechanic Читайте мою книгу, а также здесь: en.wikipedia.org/wiki/Wave_packet ; под «немного другим» я имел в виду «другой» (извините); Я не спрашиваю об условностях, а только о математическом методе, позволяющем вам записать волновой пакет в такой форме. Я думал, что этот метод был просто обратным преобразованием Фурье, но это не так, потому что он не дает того же результата.
Математически это похоже на обобщение разложения Фурье: вы предполагаете, что можете разложить свою функцию как бесконечную сумму комплексных экспонент, но поскольку функция в целом не является периодической, вы принимаете период за бесконечный и получаете преобразование Фурье.

Ответы (2)

Когда мы записываем волновой пакет, мы пытаемся решить следующую проблему: учитывая исходный профиль нашего волнового пакета, ψ ( Икс , 0 ) , как это будет выглядеть в будущем? Другими словами, мы хотим найти ψ ( Икс , т ) данный ψ ( Икс , 0 ) . Чтобы решить эту проблему, нам нужно иметь некоторое волновое уравнение, которое говорит нам, как волновой пакет эволюционирует во времени. Для разных волн в разных контекстах у нас будут разные волновые уравнения. Но мы предположим две вещи о волновом уравнении:

  • Это линейно. Это означает, что если ψ 1 ( Икс , т ) является решением и ψ 2 ( Икс , т ) является решением, то а 1 ψ 1 ( Икс , т ) + а 2 ψ 2 ( Икс , т ) является решением. Обобщая, это означает, что если ψ к ( Икс , т ) это решение, так ∫ г к   а к ψ к ( Икс , т ) .

  • Если мы начнем с начального профиля ψ ( Икс , 0 ) "=" е я к Икс , то решение нашего волнового уравнения есть ψ ( Икс , т ) "=" е я ( к Икс − ю к т ) , где ю к константа, которая может зависеть от к .

Вы можете сами убедиться, что общие волновые уравнения, такие как уравнение волны на струне или уравнение Шредингера, удовлетворяют этим свойствам. Теперь, когда мы знаем, что волновое уравнение обладает этими свойствами, мы можем решить нашу задачу!

Во-первых, мы понимаем, что по свойству (2) все функции вида е я ( к Икс − ю к т ) являются решениями нашего волнового уравнения. Это означает, что по свойству (1) любая линейная комбинация этих функций также является решением нашего волнового уравнения. Таким образом, мы можем записать предположение для решения:

ψ ( Икс , т ) "=" 1 2 π ∫ г к   г ( к ) е я ( к Икс − ю к т )

До сих пор, г ( к ) просто какая-то неизвестная функция. Любой выбор г ( к ) даст решение волнового уравнения по свойствам (1) и (2). Но нам также нужно, чтобы наше решение соответствовало нашему первоначальному профилю, ψ ( Икс , 0 ) . Подключение т "=" 0 таким образом дает условие на г ( к ) :

ψ ( Икс , 0 ) "=" 1 2 π ∫ г к   г ( к ) е я к Икс

По теореме Фурье мы можем сразу найти г ( к ) .

г ( к ) "=" 1 2 π ∫ г Икс   ψ ( Икс , 0 ) е − я к Икс

Обратите внимание, что выражение для г ( к ) относится к определенному времени, т "=" 0 . Таким образом, вы не должны ожидать, что сможете получить г ( к ) по времени преобразования Фурье, поскольку время преобразования Фурье устраняет ссылку на конкретный т точка. г ( к ) определяется в т "=" 0 , а не для общего времени.
Почему вы записываете линейную комбинацию между решениями сначала как сумму, а потом как интеграл?
@Landau Это эквивалентно. Если известно, что сумма двух решений является решением, то сразу следует, что сумма Н решения есть решение. Мы хотим просуммировать все возможные решения (каждое k), а поскольку к непрерывно, используем интеграл.
@Landau В общем, линейные дифференциальные уравнения позволяют интегрировать их решения, потому что интегрирование и дифференцирование коммутируют ( г г Икс ∫ г к "=" ∫ г к   г г Икс ), так что вы можете интегрировать семейство решений, чтобы получить новое решение.
@Landau Если хотите, я предполагаю, что волновое уравнение удовлетворяет интегральной версии линейности. Дискретная версия меня не интересует.

Что ж, что касается того, откуда они берутся... как насчет того, чтобы я объяснил вам, что каждый из них означает в контексте квантовой механики/физики?

В 1D любая аналитическая функция ψ ( Икс ) на ( − ∞ , + ∞ ) можно записать в виде бесконечной суммы синусоидальных функций.

Теперь предположим, что наша функция ψ ( Икс ) это т "=" 0 «моментальный снимок» функции, зависящей от времени ψ ( Икс , т ) .

Используя этот снимок, ваш второй интеграл, известный как преобразование Фурье ψ ( Икс , 0 ) , дает вам относительные силы г ( к ) каждой волны в бесконечной сумме, составляющей ψ . Фактическая амплитуда каждой сопутствующей волны равна г ( к ) г к , что означает, что это бесконечно малая величина, но некоторые волны вносят «больший» бесконечно малый вклад, чем другие. Здесь, к реально, но г ( к ) в общем случае является комплекснозначным.

Теперь предположим, что все синусоидальные функции, которые в сумме дают т "=" 0 функция на самом деле т "=" 0 снимки бегущих гармонических волн, где каждая гармоническая волна движется с фазовой скоростью, равной ю / к когда часы идут. В большинстве физиков обычно бывает так, что ю является функцией к . Если ю ( к ) "=" с к , где с является константой, то мы можем видеть, что фазовая скорость каждой гармонической волны одинакова; это просто с . Однако, если ю представляет собой более сложную функцию к , то каждая волна, вносящая вклад в общую ψ функция будет двигаться с другой фазовой скоростью. Это важная концепция, объясняющая, почему волновые пакеты, представляющие частицы, распространяются во времени.

Итак, ваш первый интеграл говорит о том, что комплексная волновая функция , зависящая от времени, ψ ( Икс , т ) представляет собой бесконечную сумму бегущих гармонических волн, каждая из которых имеет комплексную относительную амплитуду г ( к ) .

Если компонент волны, составляющие ваш т "=" 0 все волновые функции движутся с одной и той же фазовой скоростью, тогда вы увидите, что ваша волновая функция движется с одной и той же скоростью, не меняя своей формы. Однако, если составляющие волны имеют диапазон различных фазовых скоростей, это означает, что ваша волновая функция со временем изменит свою форму.

Если функция g(k) выглядит как «гауссовая кривая» с центром в некотором среднем к 0 , то реальная часть вашей волновой функции, зависящей от времени, будет выглядеть как колеблющийся волновой пакет, который расширяется и уменьшается по амплитуде по мере своего распространения.

Хорошо, интуитивный смысл этих формул был вполне ясен, но я ищу математический метод, который позволит вам записать волновой пакет в такой форме.
@Landau Ландау Я немного смущен тем, что вы подразумеваете под математическим методом, который позволяет . Я написал ответ, который удалил, потому что он был слишком простым и не касался вашего полного вопроса. У вас есть интуитивная (физическая) картина, так какая часть (и я имею в виду это без обид, серьезно) простого расширения идеи ряда Фурье на волновые пакеты является проблемой? Вы сверились с MathSE, поскольку у вас есть физическая идея, а MathSE имеет дело с формальными выводами и доказательствами, если это то, что вам нужно?
@ Ландау, ты спрашиваешь, почему это правильные формулы? Если это так, то ответ связан с тем, как вы меняете базисные состояния в гильбертовом пространстве с базиса положения на базис импульса или наоборот.
Выражение волнового пакета и преобразования Фурье
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v