Уравнения движения для SU(2)SU(2)SU(2) теории Янга-Миллса

Лагранжиан теории Янга-Миллса в сочетании со скалярами/фермионами и т. д. принимает форму

$${\cal L}_{YM} = - \frac{1}{2} \text{Tr} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + (D_\mu \phi) (D^\mu \phi)^* + i {\bar \psi} \gamma^\mu D_\mu \psi + \cdots$$ где $\cdots$представляет другие термины взаимодействия, которые могут присутствовать. Поясню обозначения в приведенном выше выражении.

1. $\phi_i$и$\psi_i$являются мультиплетами в некотором представлении$R$калибровочной группы$G$. Здесь,$i = 1, \cdots, \dim R$

2. Генераторы в представлении$R$обозначаются как$T^a$. Они нормализованы, чтобы удовлетворить

   $$[T^a, T^b] = i f^{ab}{}_c T^c,~~~~ \text{Tr} ( T^a T^b )= \frac{1}{2}\delta^{ab}$$ Другими словами,$T_{ij}^a$- это просто некоторый набор матриц, удовлетворяющих вышеуказанным свойствам.

3. Ковариантные производные, действующие на поля, равны

   $$\begin{align} (D_\mu \phi)_i &= \partial_\mu \phi_i - i g T^a_{ij} A_\mu^a \phi_j \\ (D_\mu \psi)_i &= \partial_\mu \psi_i - i g T^a_{ij} A_\mu^a \psi_j \\ \end{align}$$ где$(A_\mu)_{ij} = A_\mu^a T_{ij}^a$.

4. $$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + g [A_\mu, A_\nu ] \\ $$ Явно $$F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A_\mu^a + i g f_{bc}{}^a A^b_\mu A_\nu^c$$

Это полностью уточняет лагранжиан теории Янга Миллса. Теперь вы можете использовать вариационный принцип для определения уравнений движения.