Инфинитезимальная калибровочная инвариантность лагранжиана Янга-Миллса

$$F^2 \to F^2 + \alpha_i f^{ijk} F_{j\mu\nu} F_k^{\mu\nu}$$ $f^{ijk}$полностью антисимметрична по всем своим индексам и стягивается с чем-то симметричным по $jk$. Таким образом, действие инвариантно.

Мы видим, что$f^{ijk}$полностью антисимметричен следующим образом

$$[T^i , T^j] = f^{ij}{}_k T^k \implies \text{tr} \left( [ T^i , T^j ] T^k \right) = f^{ij}{}_\ell \text{tr} \left( T^\ell T^k \right) = f^{ij}{}_\ell \delta^{\ell k } = f^{ijk}$$ Таким образом, $$f^{ikj} = \text{tr} \left( [ T^i , T^k ] T^j \right) = \text{tr} \left( [ T^j , T^i ] T^k \right) = - \text{tr} \left( [ T^i , T^j ] T^k \right) = - f^{ijk}$$ Второе вышеприведенное равенство связано с цикличностью трассы. Таким образом, $f^{ijk} = f^{i[jk]}$. Но ясно $f^{ijk} = f^{[ij]k}$. Вместе это подразумевает $f^{ijk} = f^{[ijk]}$.