SU(2)SU(2)SU(2) Ян-Миллс EOM

Question

SU(2)SU(2)SU(2) Ян-Миллс EOM

kηives

У меня проблемы с некоторыми индексами моего лагранжиана Ян-Миллса. у меня есть калибровочная группа $SU(2)$ и тензор напряженности поля

Ф_{а б}^{я} "=" \partial_{а} А_{б}^{я} - \partial_{б} А_{а}^{я} + ϵ_{Дж к}^{я} А_{а}^{Дж} А_{б}^{к}

$F_{ab}^{i}=\partial_{a}A^{i}_{b}-\partial_{b}A^{i}_{a}+\epsilon^{i}_{\,\,jk}A^{j}_{a}A^{k}_{b}$ и лагранжиан

л "=" - \frac{1}{4} Ф_{а б}^{я} Ф_{я}^{а б}

$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{ab}^{i}F_{i}^{ab}$ У меня есть в конце упражнения, что правильный EOM

\partial^{а} Ф_{а б}^{я} + ϵ_{к}^{я Дж} А_{Дж}^{а} Ф_{а б}^{к} "=" 0

$\partial^{a}F_{ab}^{i}+\epsilon^{ij}_{\;\;\;k}A^{a}_{j}F^{k}_{ab}=0$ Я получаю первый член слева, но второй член я получаю немного по-другому, вместо этого, когда я попадаю в лагранжиан с

\partial L / \partial A_{a}^{i}

$\partial \mathcal{L}/\partial A_{a}^{i}$ я получаю срок

ϵ_{j k}^{i} A_{b}^{k} F_{i}^{a b}

$\epsilon^{i}_{\,\,jk} A_{b}^{k}F_{i}^{ab}$ который оставляет свободным

j

$j$ индекс. Теперь я знаю, что суммированные индексы не имеют значения и могут свободно менять буквы, но порядок и сокращение имеют значение, теперь я не уверен, как сделать так, чтобы они соответствовали индексам. Когда я делаю

\partial_{a} \partial L / \partial (\partial_{a} A_{b}^{i})

$\partial_a \partial \mathcal{L}/\partial (\partial_{a}A_{b}^{i})$ Я выхожу с типичным

\partial_{a} F_{i}^{a b}

$\partial_a F^{ab}_{i}$ но мой бесплатный индекс есть

i

$i$ , нет

j

$j$ , и я не могу заставить их соответствовать для моей жизни.

Ответы (1)

SU(2)SU(2)SU(2) Ян-Миллс EOM

Дэвид З. · Answer 1

Не видя деталей того, как вы берете производную, я не могу быть уверен, но моя первая мысль - задаться вопросом, многократно ли вы используете индексы. Например, предположим, что вы берете производную по $A_a^i$ ; ты получишь

\frac{\partial л}{\partial А_{а}^{я}} "=" - \frac{1}{4} \frac{\partial}{\partial А_{а}^{я}} [Ф_{а б}^{я} Ф_{я}^{а б}] "=" - \frac{1}{4} \frac{\partial Ф_{а б}^{я}}{\partial А_{а}^{я}} Ф_{я}^{а б} - \frac{1}{4} \frac{\partial Ф_{я}^{а б}}{\partial А_{а}^{я}} Ф_{а б}^{я}

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_a^i} = -\frac{1}{4}\frac{\partial}{\partial A_a^i}\bigl[F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i} F_{\color{red}i}^{\color{red}{ab}}\bigr] = -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i}}{\partial A_a^i}F_{\color{red}i}^{\color{red}{ab}} -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{\color{red}i}^{\color{red}{ab}}}{\partial A_a^i}F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i}$

В процессе оценки $\frac{\partial F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i}}{\partial A_a^i}$ , индексы в числителе не сокращаются с индексами в знаменателе, но это будет легко пропустить, если у вас нет цветов, чтобы различить их.

Я бы посоветовал, когда вы маркируете поле, по которому вы дифференцируете, использовать индексы, которые нигде не отображаются в лагранжиане, например:

\frac{\partial л}{\partial А_{с}^{н}} "=" - \frac{1}{4} \frac{\partial Ф_{а б}^{я}}{\partial А_{с}^{н}} Ф_{я}^{а б} - \frac{1}{4} \frac{\partial Ф_{я}^{а б}}{\partial А_{с}^{н}} Ф_{а б}^{я}

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_c^n} = -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{ab}^{i}}{\partial A_c^n}F_{i}^{ab} -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{i}^{ab}}{\partial A_c^n}F_{ab}^{i}$

Тогда нет опасности случайно сократить неправильные индексы. Когда вы дойдете до уровня дифференциации отдельных полей, вы получите несколько дельт Кронекера,

\frac{\partial А_{а}^{я}}{\partial А_{с}^{н}} "=" {дельта}_{а}^{с} {дельта}_{н}^{я}

$\frac{\partial A_a^i}{\partial A_c^n} = \delta_a^c \delta_n^i$

Если вы дифференцируете контравариантное поле, вы можете использовать метрику для повышения и понижения индексов по мере необходимости.

\frac{\partial А_{я}^{а}}{\partial А_{с}^{н}} "=" \frac{\partial}{\partial А_{с}^{н}} {дельта}_{я м} г^{а г} А_{г}^{м} "=" г^{а с} {дельта}_{я н}

$\frac{\partial A_i^a}{\partial A_c^n} = \frac{\partial}{\partial A_c^n}\delta_{im}g^{ad}A_d^m = g^{ac} \delta_{in}$

$\delta_{im}$ является метрикой для $SU(2)$ конфигурационное пространство, если я правильно помню.

Именно так и было, большое спасибо.

SU(2)SU(2)SU(2) Ян-Миллс EOM

kηives

Ответы (1)

Дэвид З.

kηives

Инфинитезимальная калибровочная инвариантность лагранжиана Янга-Миллса

Вариация действия Максвелла по отношению к вирбейну - Теория Эйнштейна-Картана

Уравнения движения для SU(2)SU(2)SU(2) теории Янга-Миллса

Лагранжиан Фаддеева-Попова

Сохраняющийся топологический заряд для d=3 Янга-Миллса. Г=У(2)

Лагранжева калибровочная инвариантность L′=L+df(q,t)dtL′=L+df(q,t)dtL’=L+\frac{df(q,t)}{dt}

Вывод уравнения поля в теории Янга Миллса

Уравнение Эйлера-Лагранжа с логарифмическим потенциалом

Калибровочная инвариантность лагранжиана Янга-Миллса

Изменение действия (космологическая теория возмущений)