Калибровочная инвариантность лагранжиана Янга-Миллса

Я пытаюсь показать калибровочную инвариантность лагранжиана Янга-Миллса.

л "=" − 1 4 Ф мю ν а Ф мю ν , а + ∑ я , Дж Н ψ ¯ я ( дельта я Дж я ∂ α γ α − дельта я Дж м + г А α а γ α Т я Дж а ) ψ Дж ,
переписав его в терминах ковариантной производной Д мю "=" ∂ мю − я г А мю а Т а , для которого я знаю, что Ф мю ν "=" я г [ Д мю , Д ν ] , (где Ф мю ν "=" Ф мю ν а Т а ) и что он преобразуется как Д мю → U ( Икс ) Д мю U − 1 ( Икс ) при калибровочном преобразовании. Я застрял со следующими двумя вопросами:

  • Оценивая преобразование первого слагаемого, я увидел тождество

    − 1 4 Ф мю ν а Ф мю ν , а "=" − 1 2 Ф мю ν а Ф мю ν , б тр [ Т а Т б ] "=" − 1 2 тр [ Ф мю ν Ф мю ν ]
    использовалось, но я не понимаю второе равенство. Компоненты тензора поля Янга-Миллса являются матрицами, так как же оправдать их включение в трассу? (подразумевается, что Т а матрицы нормированы так, что тр [ Т а Т б ] "=" 1 2 дельта а б кстати.)

  • Для второго члена лагранжиана я видел равенство

    ∑ я , Дж Н ψ ¯ я ( дельта я Дж я ∂ α γ α − дельта я Дж м + г А α а γ α Т я Дж а ) ψ Дж "=" ∑ я , Дж Н ψ ¯ я ( я Д я Дж , α γ α − дельта я Дж м ) ψ Дж ,
    использовалось, но я не понимаю, как это верно, если только г А α а γ α Т я Дж а "=" 0 для я ≠ Дж . Мне очень не терпится узнать, почему выполняется это равенство?

Ответы (1)

В первом пункте вы ошибаетесь в условии нормализации, которое

Тр ( Т а Т б ) "=" 1 2 дельта а б
и этого не могло быть дельта я Дж так как вы прослеживаете индексы
Тр ( Т а Т б ) "=" Т я Дж а Т Дж я б
При этом первый результат тривиален.

Второй момент просто исходит из определения ковариантной производной Д мю "=" ∂ мю − я г А мю а Т а в котором понимаются внутренние индексы. Если вы запишете их, вы получите

( Д мю ) я Дж "=" ∂ мю дельта я Дж − я г А мю а Т я Дж а
фактически
я ψ ¯ я ( Д мю ) я Дж γ мю ψ Дж "=" я ψ ¯ я ( ∂ мю γ мю дельта я Дж − я г А мю а γ мю Т я Дж а ) ψ Дж "=" ψ ¯ я дельта я Дж я γ мю ∂ мю ψ Дж + г ψ ¯ я γ мю А мю а Т я Дж а ψ Дж
что именно то, что у вас есть во втором равенстве

Спасибо! Ваше первое замечание об индексах было на самом деле опечаткой с моей стороны, извините за это, теперь это исправлено. Попробую воспользоваться вашей подсказкой. Что касается второй части, то, если индексы понимаются неявно, я не понимаю, почему их не было бы на
...дельта-функция, а не частная производная напрямую (без дельта-функции)? Ну, я понимаю, что у частной производной не может быть индексов, но почему производная равна нулю для я ≠ Дж ?
Частная производная не имеет внутренних индексов и не должна. Точно так же, как поле фотона не имеет внутренних индексов. Вы должны быть осторожны с индексами: мю является лоренцевой индией, а является внутренним индексом, например цветовым индексом, если теория С U ( 3 ) , я , Дж являются спинорными индексами. Частная производная не имеет ни спинорных, ни цветовых индексов. Однако ковариантная производная зависит от представления теории и, следовательно, имеет спинорные индексы, поскольку она по-разному действует на разные компоненты спинора из-за Т я Дж а .
Калибровочная инвариантность лагранжиана Янга-Миллса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v