Локальная калибровочная инвариантность лагранжиана Дирака

Question

Локальная калибровочная инвариантность лагранжиана Дирака

Камиль

Позволять

л "=" я ℏ с \bar{ψ} γ^{мю} \partial_{мю} ψ - м с^{2} \bar{ψ} ψ

$\mathcal{L} = i \hbar c \overline{\psi} \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi - mc^2 \overline{\psi} \psi$ — плотность лагранжиана для свободного поля Дирака . Я изучаю физику элементарных частиц из книги Гриффитса (раздел 11.3. локальная калибровочная инвариантность).

Я хочу применить калибровочное преобразование

ψ \to е^{- я д λ (Икс) / ℏ с} ψ .

$\psi \rightarrow e^{-iq \lambda(x) / \hbar c} \psi.$ Это не оставит лагранжев инвариантным, так как мы получаем дополнительный член, потому что

\partial_{мю} ψ \to е^{- я д λ (Икс) / ℏ с} [\partial_{мю} - \frac{я д}{ℏ с} (\partial_{мю} λ)] ψ .

$\partial_{\mu} \psi \rightarrow e^{-iq \lambda(x) / \hbar c} \bigg[ \partial_{\mu} - \frac{iq}{\hbar c} (\partial_{\mu} \lambda) \bigg] \psi.$

Теперь Гриффитс говорит, что если мы заменим в лагранжиане Дирака каждую производную $\partial_{\mu}$ с ковариантной производной

Д_{мю} "=" \partial_{мю} + \frac{я д}{ℏ с} А_{мю}

$D_{\mu} = \partial_{\mu} + \frac{iq}{\hbar c} A_{\mu}$ трансформация

А_{мю} \to А_{мю} + \partial_{мю} λ

$A_{\mu} \rightarrow A_{\mu} + \partial_{\mu} \lambda$ отменит оскорбительный член и оставит лагранжев инвариант. Теперь я хотел проверить, действительно ли это работает, но в моих окончательных расчетах я всегда получаю дополнительный член. У меня есть

л^{^{'}} "=" я ℏ с е^{я д λ / ℏ с} \bar{ψ} γ^{мю} (\partial_{мю} + \frac{я д}{ℏ с} А_{мю}) (е^{- я д λ / ℏ с} ψ) - м с^{2} \bar{ψ} ψ .

$\mathcal{L}^{'} = i \hbar c e^{iq \lambda / \hbar c} \overline{\psi} \gamma^{\mu} (\partial_{\mu} + \frac{iq}{\hbar c} A_{\mu}) \big( e^{-iq\lambda / \hbar c} \psi \big) - mc^2 \overline{\psi} \psi.$ Теперь тоже заменю

A_{μ}

$A_{\mu}$ к

A_{μ} + \partial_{μ} λ

$A_{\mu} + \partial_{\mu} \lambda$ . Тогда я получаю

л^{^{'}} "=" я ℏ с е^{я д λ / ℏ с} \bar{ψ} γ^{мю} \partial_{мю} (е^{- я д λ / ℏ с} ψ) - д е^{я д λ / ℏ с} \bar{ψ} γ^{мю} (А_{мю} + \partial_{мю} λ) (е^{- я д λ / ℏ с} ψ) - м с^{2} ψ \bar{ψ} .

$\mathcal{L}^{'} = i \hbar c e^{iq \lambda / \hbar c} \overline{\psi} \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \bigg( e^{-iq\lambda / \hbar c} \psi \bigg) - q e^{iq \lambda / \hbar c} \overline{\psi} \gamma^{\mu} \big( A_{\mu} + \partial_{\mu} \lambda \big) \big( e^{-iq\lambda / \hbar c} \psi \big) - mc^2 \psi \overline{\psi}.$ Но если я разберусь с этим, я в конечном итоге с

л^{^{'}} "=" я ℏ с \bar{ψ} γ^{мю} (\partial_{мю} ψ) - м с^{2} \bar{ψ} ψ - д \bar{ψ} γ^{мю} А_{мю} ψ .

$\mathcal{L}^{'} = i \hbar c \overline{\psi} \gamma^{\mu} (\partial_{\mu} \psi) - mc^2 \overline{\psi} \psi - q \overline{\psi} \gamma^{\mu} A_{\mu} \psi.$ Обратите внимание на появившийся дополнительный термин. Я сделал что-то не так здесь? Буду признателен за помощь, потому что я хочу понять это.

Блажей

Подсказка: начните с демонстрации того, что если

D_{μ}^{'} = D_{μ} + i q \partial_{μ} θ

$D'_{\mu}=D_{\mu}+iq \partial_{\mu} \theta$ и

ψ^{'} = e^{- i q θ}

$\psi' = e^{-iq \theta}$ затем

D_{μ}^{'} ψ^{'} (x) = e^{- i q θ} D_{μ} ψ (x)

$D'_{\mu} \psi'(x)=e^{-iq \theta} D_{\mu} \psi(x)$ . Это уравнение утверждает, что производная

D

$D$ является ковариантным, т. е. прямо через него проходят фазовые множители, соответствующие калибровочной симметрии.

Хавьер

Не надо сравнивать с исходным лагранжианом, надо сравнивать с лагранжианом с ковариантной производной. Другими словами,

\bar{ψ} γ^{μ} A_{μ} ψ

$\bar{\psi}\gamma^\mu A_\mu \psi$ в порядке, он был там до калибровочного преобразования.

Камиль

Таким образом, термин

\bar{ψ} γ^{μ} A_{μ} ψ

$\overline{\psi} \gamma^{\mu} A_{\mu} \psi$ get автоматически добавляется к новому лагранжиану Дирака, который содержит ковариантную производную?

Ответы (2)

Локальная калибровочная инвариантность лагранжиана Дирака

Подсказка: начните с демонстрации того, что если $D'_{\mu}=D_{\mu}+iq \partial_{\mu} \theta$ и $\psi' = e^{-iq \theta}$ затем $D'_{\mu} \psi'(x)=e^{-iq \theta} D_{\mu} \psi(x)$ . Это уравнение утверждает, что производная $D$ является ковариантным, т. е. прямо через него проходят фазовые множители, соответствующие калибровочной симметрии.
Не надо сравнивать с исходным лагранжианом, надо сравнивать с лагранжианом с ковариантной производной. Другими словами, $\bar{\psi}\gamma^\mu A_\mu \psi$ в порядке, он был там до калибровочного преобразования.
Таким образом, термин $\overline{\psi} \gamma^{\mu} A_{\mu} \psi$ get автоматически добавляется к новому лагранжиану Дирака, который содержит ковариантную производную?

innisfree · Answer 1

Вы неправильно поняли Гриффитса. Замена

\partial_{мю} \to Д_{мю}

$\partial_\mu \to D_\mu$ является частью рецепта создания калибровочно-инвариантного лагранжиана. Последующий лагранжиан инвариантен относительно преобразований,

ψ \to е^{- я д λ (Икс)} ψ и А_{мю} \to А_{мю} + \partial_{мю} λ

$\psi \rightarrow e^{-iq \lambda(x)} \psi \quad\text{and}\quad A_{\mu} \rightarrow A_{\mu} + \partial_{\mu} \lambda$ Замена

\partial_{μ} \to D_{μ}

$\partial_\mu \to D_\mu$ не является частью калибровочного преобразования.

Амара · Answer 2

Все это имеет смысл, если использовать язык расслоений. Но я постараюсь избежать этого и перевести в менее техническую форму. Происходит следующее: у вас есть многообразие, на котором вы занимаетесь физикой. Но вообще у вас не глобальные координаты, а координатные патчи. Эти участки координат могут иметь области, где они пересекаются, и поэтому, когда мы делаем преобразование из одного набора координат в другой, физика в пересечении должна совпадать. В данном случае это означает, что лагранжиан не должен меняться. Мы меняем набор координат с некоторым преобразованием. Преобразование, которое мы используем для перехода от одной координаты к другой, происходит из группы Ли $U(1)$ и делается $\psi \rightarrow e^{iq\lambda(x)} \psi$ . Теперь начнем со следующего лагранжиана:

л "=" я ℏ с \bar{ψ} γ^{мю} \partial_{мю} ψ - м^{2} с^{2} \bar{ψ} ψ

$\mathcal{L} = i \hbar c \overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu} \psi -m^2 c^2 \overline{\psi}\psi$ Вы обнаружили, что физика не осталась прежней, когда вы изменили координаты. Это неприемлемо, потому что физика не может зависеть от систем координат.

Так что же пошло не так? Проблема в том, что наше многообразие не является локально плоским, и на самом деле оно имеет некоторую кривизну, связанную с правилом параллельного переноса. Так же, как и в GR, есть связь, которая меняет вид частной производной в вашем случае. $\partial_{\mu} \rightarrow \partial_{\mu} - iq \partial_{\mu}(\lambda)$ Дополнительный член является аналогом символов Кристоффеля.

Теперь во второй части упражнения Гриффит уже дал вам лагранжиан, который имеет ковариантную производную с правильной связью в одной форме или, используя язык физики, «калибровочное поле». Лагранжиан уже был изменен, чтобы отразить факт наличия кривизны. Также калибровочное поле или связь должны соответствующим образом преобразовываться, когда мы меняем координаты. Оказывается, общее правило преобразования $A'_{\mu} \rightarrow g A_{\mu}g^{-1} + g^{-1}dg$ где g — элемент некоторой группы. Для QED, с которым вы имеете дело $g = e^{i\lambda(x)} \in U(1)$ . Обратите внимание, как это дает правильное правило преобразования для $A_{\mu}$ Гриффит дал вам. То, что я описываю, называется калибровочной инвариантностью или калибровочной симметрией, что является очень плохим названием для преобразования координат.

Удивительно то, что для того, чтобы мой лагранжиан был координатно-инвариантным на многообразии с кривизной, это подразумевает, что он должен включать связь фермиона с фотоном, следовательно, дополнительный член, который вы получили $q\overline{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu} \psi$ .

И последнее, я упомянул кривизну, и вам может быть интересно, что является аналогом тензора Римана; это $F_{\mu \nu}$ . Я срезал много углов, но я надеюсь, что это имеет смысл.

В вашем правиле преобразования для $A'_\mu$ , что $d$ ?
@CStarAlgebra, конечно, внешняя производная ( en.wikipedia.org/wiki/Exterior_derivative ). Это общепринятое обозначение. В данном случае - просто причудливый способ написания $\partial_{\mu}$ .

Локальная калибровочная инвариантность лагранжиана Дирака

Камиль

Блажей

Хавьер

Камиль

Ответы (2)

innisfree

Амара

CStarАлгебра

проф. Леголасов

QED BRST Симметрия

Уравнения движения для SU(2)SU(2)SU(2) теории Янга-Миллса

Канонический формализм в координатах светового конуса

Лагранжиан скалярного поля в искривленном пространстве-времени

Сохраняющийся топологический заряд для d=3 Янга-Миллса. Г=У(2)

Что такое лагранжиан уравнения Паули?

Почему мы используем уравнение Эйлера-Лагранжа для квантовых полей?

Понимание функции Евклида Грина

Эквивалентна ли эта теория КЭД?

Нахождение энергии решения уравнения Синус-Гордон