Уравнения движения Гамильтона на формализме Дирака

Question

Уравнения движения Гамильтона на формализме Дирака

ГалуаФан

У меня есть несколько сомнений относительно процедуры, предложенной алгоритмом Дирака-Бергмана для получения правильных уравнений движения электродинамики (уравнений Максвелла).

Предположим, я уже нашел первичное ограничение, $\pi^0 \approx 0$ , вторичное, $\partial_i \pi^i - j^0 \approx 0$ , и проверил, что больше не возникает независимых или противоречивых условий, и проверил, что оба ограничения относятся к первому классу.

После этого меня многое смущает. Возможно, будет лучше, если я опишу, что я делаю. Итак, я связал оба ограничения с плотностью гамильтониана через множители:

{ЧАС}_{е Икс т} "=" \frac{1}{4} Ф_{я Дж} Ф^{я Дж} - \frac{1}{2} π_{я} π^{я} - А_{0} \partial_{я} π^{я} + {Дж}^{мю} А_{мю} + λ_{1} π^{0} + λ_{2} \partial_{я} π^{я}

$\begin{equation} \mathcal{H}_{ext}=\frac{1}{4}F_{ij}F^{ij}-\frac{1}{2}\pi_i \pi^i -A_0\partial_i \pi^i + j^{\mu} A_{\mu} + \lambda_1 \pi^0 + \lambda_2 \partial_i \pi^i \end{equation}$

где $F^{ij}$ обычный электромагнитный тензор, $A_{\mu}=(V,\vec{A})$ , $j^{\mu}=(\rho,\vec{j})$ и $\pi^\mu$ канонический импульс, сопряженный с $A_\mu$ . Затем я приступил к поиску EOM:

\dot{π^{ю}} "=" {π^{ю}, {ЧАС}_{е Икс т}} "=" - \frac{дельта {ЧАС}_{е Икс т}}{дельта А_{ю}} "=" \partial_{я} \frac{\partial ЧАС}{\partial (\partial_{я} А_{ю})} - \frac{\partial ЧАС}{\partial А_{ю}}

$\begin{equation} \dot{\pi^{\omega}}=\{\pi^{\omega},H_{ext}\}=-\frac{\delta H_{ext}}{\delta A_{\omega}}=\partial_i\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial (\partial_i A_{\omega})}-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial A_{\omega}} \\ \end{equation}$

\dot{А_{ю}} "=" {А_{ю}, {ЧАС}_{е Икс т}} "=" \frac{дельта {ЧАС}_{е Икс т}}{дельта π^{ю}} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial π^{ю}} - \partial_{я} \frac{\partial ЧАС}{\partial (\partial_{я} π^{ю})}

$\begin{equation} \dot{A_{\omega}}=\{A_{\omega},H_{ext}\}=\frac{\delta H_{ext}}{\delta \pi^{\omega}}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \pi^{\omega}}-\partial_i\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial (\partial_i \pi^{\omega})} \end{equation}$

где второе равенство тривиально получается из (оценки) определения скобки Пуассона. Делая расчеты, я получаю следующее

\begin{aligned} \dot{π^{0}} & "=" \partial_{я} Ф^{я 0} + \partial_{я} π^{я} - {Дж}^{0} \to \partial_{я} Ф^{я 0} \approx 0 \\ \dot{π^{к}} & "=" \partial_{я} Ф^{я к} - {Дж}^{к} \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\pi^{0}}&=\partial_i F^{i0}+\partial_i \pi^i -j^0 \to \partial_i F^{i0} \approx 0 \\ \dot{\pi^k}&=\partial_i F^{ik}-j^k \end{align}$

и

\begin{aligned} \dot{А_{0}} & "=" λ_{1} - π_{0} + \partial_{0} А_{0} - \partial_{0} λ_{2} \to \dot{А_{0}} \approx λ_{1} + \partial_{0} А_{0} - \partial_{0} λ_{2} \\ \dot{А_{я}} & "=" \partial_{я} А_{0} - π_{я} - \partial_{я} λ_{2} \end{aligned}

$\begin{align} \dot{A_0}&=\lambda_1-\pi_0+\partial_0 A_0 - \partial_0 \lambda_2 \to \dot{A_0}\approx\lambda_1+\partial_0 A_0 - \partial_0 \lambda_2\\ \dot{A_i}&=\partial_i A_0 -\pi_i-\partial_i \lambda_2 \end{align}$

Итак, мои сомнения:

(1) Я предполагаю, что мои расчеты неверны, потому что я не в состоянии распознать неоднородные уравнения Максвелла в своих результатах, как (я думаю) должен ( $\partial_{\mu}F^{\mu \nu}=j^{\nu}$ ), и я не могу найти ошибку.

(2) Хотя я знаю, что это часть основ теории, я не могу понять, следует ли мне использовать гамильтониан только с первичными ограничениями (как говорит мой сомнительный ориентатор) или со всеми связанными первоклассными ограничениями. или даже с полным расширенным гамильтонианом (как я обозначил здесь и в этом случае совпадает со случаем, в котором связаны все ограничения первого класса), и, конечно, не знаю, почему правый случай является правильным. Я не могу понять этого из учебников, которые изучают предмет по матричному принципу «все-в-одном».

Я знаю, что правильным способом понять это замечание было бы вернуться немного назад и начать сначала (даже с обязательных тем), чтобы усвоить теорию до тех пор, пока она не станет близкой к интуитивной, но я делал это исчерпывающе и получил только больше запутался.

Ответы (1)

Уравнения движения Гамильтона на формализме Дирака

Любопытный Разум · Answer 1

Априори совершенно правильно добавлять к плотности гамильтониана как первичные, так и вторичные ограничения с помощью множителей Лагранжа. Что не правильно, так это то, как вы определили уравнения движения:

Нет " _ $F^{i0}$ " в гамильтоновой теории! Он называется $\pi^i$ там и не зависит $\partial_i A_0$ , это независимая каноническая переменная! Я не знаю, как ты получил $F^{i0}$ в вашем выражении для $\dot{\pi}^0$ , но его там нет. Правильное уравнение движения — это всего лишь вторичное ограничение $\begin{matrix} (1а) & {\dot{π}}^{0} "=" \partial_{я} π^{я} - {Дж}^{0} \end{matrix}$ $\dot{\pi}^0 = \partial_i \pi^i - j^0\tag{1a}$
Уравнение движения $\begin{matrix} (1б) & {\dot{π}}^{к} "=" \partial_{я} Ф^{я к} - {Дж}^{к} \end{matrix}$ $\dot{\pi}^k = \partial_i F^{ik}\tag{1b} - j^k$ верно.
Уравнение движения для $A_0$ просто $\begin{matrix} (1с) & {\dot{А}}_{0} "=" λ_{1} \end{matrix}$ $\dot{A}_0 = \lambda_1\tag{1c}$ и я не знаю, откуда взялись другие ваши термины. Единственный член гамильтониана, зависящий от $\pi^0$ является $\lambda_1\pi^0$ , и ни один член не зависит от $\partial_i \pi^0$ .
Уравнение движения для $A_i$ , $\begin{matrix} (1д) & {\dot{А}}_{я} "=" - π_{я} + \partial_{я} А_{0} - \partial_{я} λ_{2} \end{matrix}$ $\dot{A}_i = -\pi_i + \partial_i A_0 - \partial_i \lambda_2 \tag{1d}$ верно.

Уравнения Максвелла теперь получаются следующим образом:

Идентификация $E^i = -\pi^i$ , Мы видим, что $\nabla\cdot E = \rho$ не является уравнением движения для $A$ или $\pi$ , а связь или уравнение движения для $\lambda_2$ , как вы предпочитаете. В частности, ур. (1a) не имеет динамического содержания.
Идентификация $B_i \propto \epsilon_{ijk}F^{jk}$ , экв. (1б) есть $\nabla\times B - \dot{E} = j$ .
уравнение (1c) не имеет динамического содержания, так как включает только множители Лагранжа. Мы можем сделать выбор датчика $\lambda_1 = 0$ оказывать $A_0$ постоянным во времени.
уравнение (1d) становится $\pi_i = \partial_i A_0 - \dot{A}_i$ по выбору манометра $\lambda_2 = 0$ , что является просто уравнением $E = \nabla\phi -\partial_t A$ .

Если вам интересно, куда делась вторая половина уравнений Максвелла, то она находится в определении $F$ ! Оба $\nabla\cdot B = 0$ и $\nabla\times E + \partial_t B = 0$ являются прямым следствием определения $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ , так как отсюда следует, что $\partial_\sigma \epsilon^{\sigma\rho\mu\nu}F_{\mu\nu} = 0$ . $\sigma = 0$ дает $\nabla\cdot B = 0$ и $\sigma = i$ дает $i$ -й компонент $\nabla\times E + \partial_t B = 0$ .

Вы абсолютно правы! Я игнорировал в своих расчетах латинский индекс электромагнитных тензоров. И ваше объяснение было безупречным! Спасибо!

Уравнения движения Гамильтона на формализме Дирака

ГалуаФан

Ответы (1)

Любопытный Разум

ГалуаФан

Канонический формализм в координатах светового конуса

Ограничения уравнений гамильтоновых полей

Сомнение в условии непротиворечивости вторичной связи электродинамики

Гамильтонов формализм массивного векторного поля

Основные ограничения для гамильтоновых теорий поля

Построение лагранжиана из гамильтониана для майорановских фермионов

Можем ли мы явно решить уравнение Гамильтона-Якоби для частицы в однородном магнитном поле?

Вопрос о выводе лагранжиана 1-го порядка в формализме Фаддеева-Жаккова

Зачем нужно поперечное дельта-распределение для скобок Пуассона классических компонент электромагнитного поля?

Различные результаты для гамильтониана диска, катящегося по наклонной плоскости