Сомнение в условии непротиворечивости вторичной связи электродинамики

О методе Дирака для электромагнетизма, требующем непротиворечивости вторичной связи$X$(что должно быть одинаково достигнуто, поскольку дополнительных ограничений нет),

$$X_{\mathbf{x}}[\pi, \lambda] \equiv \int d^3x \,\lambda(\mathbf{x}) (\partial_i\pi^i-j^0)(\mathbf{x}) \approx 0$$

я получил

$$\begin{split} 0\overset{!}{\approx }\dot{X}\approx & \{X(\mathbf{x}),H_{P}(\mathbf{y})\} =-\int d^3z \, \frac{\delta H_P(\mathbf{y})}{\delta A^{\mu}(\mathbf{z})}\frac{\delta X(\mathbf{x})}{\delta \pi^{\mu}(\mathbf{z})} \\ \approx&\int d^3z \, \frac{\delta H_P(\mathbf{y})}{\delta A^{i}(\mathbf{z})}\partial_i [\lambda(\mathbf{x}) \delta(\mathbf{x}-\mathbf{z})] \\ \therefore & \; \; 0\approx \;\partial_i \frac{\delta H_P}{\delta A^{i}}=\partial_i \partial_j F^{ji}-\partial_i j^i = -\partial_i j^i \end{split}$$

С$H_P$являющийся первичным гамильтонианом для электродинамики с источниками, с плотностью

$$\mathscr{H}_P=\frac{1}{4}F^{i j} F_{i j} -\frac{1}{2}\pi^{i}\pi_{i} -A_0 \partial_i \pi^{i} + j^{\mu}A_{\mu} + \lambda_1 \pi^0$$

Теперь первый срок$\dot{X}$тождественно равен нулю, что гарантирует непротиворечивость вторичного ограничения электродинамики без источников. Проблема в том, что у меня остался термин$\partial_i j^i$у которого нет причин быть равным нулю (в отличие от$\partial_{\mu} j^{\mu}=0$, конечно).

Прошло некоторое время с тех пор, как я застрял здесь, и я был бы очень благодарен, если бы кто-нибудь мог хотя бы указать мне правильное направление.

Редактировать: я начал с лагранжевой плотности

$$\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}-j^{\mu}A_{\mu}$$