Гамильтонов формализм массивного векторного поля

Question

Гамильтонов формализм массивного векторного поля

Муман

В настоящее время я работаю над проблемой, касающейся массивного векторного поля. Среди прочего я уже вычислил уравнения движения из лагранжевой плотности

л "=" - \frac{1}{4} Ф_{мю ν} Ф^{мю ν} + \frac{1}{2} м^{2} А^{мю} А_{мю},

$\mathcal{L} = - \frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \frac{1}{2} m^2 A^\mu A_\mu,$ где

F_{μ ν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}

$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ , которые

\begin{aligned} \partial_{мю} Ф^{мю ν} + м^{2} А^{ν} "=" 0. \end{aligned}

$\begin{align} \partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0. \end{align}$ Здесь соглашение о знаках

(+, -, -, -)

$(+,-,-,-)$ .

Затем проблема приводит меня к некоторым вычислениям, чтобы в конечном итоге получить гамильтониан. В основном определяется канонический импульс, и из уравнений движения следует, что $A^0 = \frac{1}{m^2} \partial_i \Pi_i$ (отсюда и далее правило суммирования используется для повторяющихся индексов независимо от их положения). В основном это означает, что $A^0$ не является динамической переменной и может быть устранено с точки зрения $\Pi_i$ . Используя это и тот факт, что $\Pi_i (x) = \partial_0 A^i (x) + \partial_i A^0 (x)$ , можно найти следующий гамильтониан:

\begin{aligned} ЧАС "=" \int г^{3} \vec{Икс} ЧАС "=" \int г^{3} \vec{Икс} (\frac{1}{2} Π_{я} Π_{я} + \frac{1}{2 м^{2}} \partial_{я} Π_{я} \partial_{Дж} Π_{Дж} + \frac{1}{2} \partial_{я} А^{Дж} (\partial_{я} А^{Дж} - \partial_{Дж} А^{я}) + \frac{м^{2}}{2} А^{я} А^{я}) . \end{aligned}

$\begin{align} H = \int d^3 \vec{x}\; \mathcal{H} = \int d^3 \vec{x}\; \left(\frac{1}{2} \Pi_i \Pi_i + \frac{1}{2m^2} \partial _ i \Pi_i \partial _j\Pi_j + \frac{1}{2} \partial_i A^j (\partial_i A^j - \partial_j A^i ) + \frac{m^2}{2} A^i A^i \right). \end{align}$

Короче говоря, теперь я должен вычислить из этого гамильтоновы уравнения движения и показать, что они приводят к тем же уравнениям, которые я получил из лагранжиана.

Теперь мне непонятно, какой вид должны иметь здесь гамильтоновы уравнения движения. То, как они написаны в Википедии ( https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_field_theory ), только с производными по времени в левой части, не приведет к тем же уравнениям движения, верно?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Благодаря ответу GRrocks я думаю, что понял это сейчас.

\begin{aligned} - \partial_{0} Π^{к} & "=" - \partial_{0} (\partial_{0} А^{к} + \partial_{к} А^{0}) "=" \frac{дельта ЧАС}{дельта А^{к}} "=" \\ "=" м^{2} А^{к} - \frac{1}{2} \partial_{я} \partial_{я} А^{к} - \frac{1}{2} \partial_{я} \partial_{я} А^{к} + \frac{1}{2} \partial_{Дж} \partial_{к} А^{Дж} - \frac{1}{2} \partial_{Дж} \partial_{к} А^{Дж} "=" \\ "=" м^{2} А^{к} - \partial_{я} \partial_{я} А^{к} + \partial_{Дж} \partial_{к} А^{Дж} \end{aligned}

$\begin{align} -\partial_0 \Pi^k & = - \partial_0 \left(\partial_0 A^k + \partial_k A^0 \right) =\frac{\delta \mathcal{H}}{\delta A^k} = \\ &= m^2 A^k - \frac{1}{2} \partial_i \partial_i A^k - \frac{1}{2}\partial_i \partial_i A^k + \frac{1}{2} \partial_j\partial_k A^j - \frac{1}{2} \partial_j\partial_k A^j = \\ &= m^2 A^k - \partial_i \partial_i A^k + \partial_j\partial_k A^j \end{align}$ и так

\begin{aligned} \partial_{0} \partial_{0} А^{к} - \partial_{я} \partial_{я} А^{к} + м^{2} А^{к} + \partial_{0} \partial_{к} А^{0} + \partial_{я} \partial_{к} А^{я} "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align} \partial_0 \partial_0 A^k - \partial_i \partial_i A^k + m^2 A^k + \partial_0 \partial_k A^0 + \partial_i \partial_k A^i = 0 \end{align}$ что действительно равно лагранжевым уравнениям движения. Теперь мой вопрос в том, что уравнения

\partial_{0} A^{i} = \frac{δ H}{δ Π_{i}}

$\partial_0 A ^i = \frac{\delta \mathcal{H}}{\delta \Pi_i}$ если я уже получил полные лагранжевы уравнения движения с

- \partial_{0} Π^{k} = \frac{δ H}{δ A^{k}}

$-\partial_0 \Pi^k =\frac{\delta \mathcal{H}}{\delta A^k}$ . Что мне не хватает?

Ответы (2)

Гамильтонов формализм массивного векторного поля

GRrocks · Answer 1

Подсказка: уравнения движения Гамильтона здесь точно такие же, как и в классической механике, с заменой обычных производных на функциональные производные.

Это связано с тем, что в общем случае гамильтониан (а не плотность гамильтониана) $H(t)=H[\psi(\cdot,t),\dot{\psi}(\cdot,t)]$ является функционалом полей и сопряженных импульсов в заданном интервале времени, и в этом интервале времени поля и импульсы подчиняются соотношению скобки Пуассона (читай: коммутатору), известному из классической механики (где $H=H(q,p)$ просто функция ). Эти координаты $q,p$ продвигаются в поля в КТП, и, таким образом, производные по ним становятся функциональными производными.

Итак, просто возьмите функциональные производные гамильтониана, которые вы записали, и поместите их в функциональную производную версию классических уравнений ( $\partial H/\partial p=\dot{q}$ и т. д)

Так в принципе и должно быть $\partial_0 A^i = \frac{\delta \mathcal{H}}{\delta \Pi_i} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \Pi_i } - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial(\partial_\mu \Pi_i)} \right)$ для первого, я прав?

Qмеханик · Answer 2

Нет необходимости устранять $A_0$ поле $^1$ . Короче говоря, плотность гамильтониана лагранжиана $^2$

\begin{matrix} (1) & \begin{array}{ccc} л_{ЧАС} "=" \vec{Π} \cdot \dot{\vec{А}} - ЧАС & \overset{\vec{Π}}{⟶} & л "=" - \frac{1}{4} Ф_{мю ν} Ф^{мю ν} - \frac{1}{2} м^{2} А_{мю} А^{мю} \\ ↓ А_{0} & ↓ А_{0} \\ л_{ЧАС}^{р} "=" \vec{Π} \cdot \dot{\vec{А}} - {ЧАС}^{р} & \overset{\vec{Π}}{⟶} & л^{р} "=" \frac{1}{2} {\dot{А}}_{я} ({дельта}^{я Дж} + \frac{\partial^{я} \partial^{Дж}}{м^{2} - \nabla^{2}}) {\dot{А}}_{Дж} - \frac{1}{2} {\vec{Б}}^{2} - \frac{1}{2} м^{2} {\vec{А}}^{2} \end{array} \end{matrix}

$\begin{array}{ccc} {\cal L}_H~=~\vec{\Pi}\cdot\dot{\vec{A}} - {\cal H}&\stackrel{\vec{\Pi}}{\longrightarrow} & {\cal L}~=~-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{2}m^2 A_{\mu}A^{\mu} \cr\cr \downarrow A_0& &\downarrow A_0\cr\cr {\cal L}^R_H~=~\vec{\Pi}\cdot\dot{\vec{A}} - {\cal H}^R&\stackrel{\vec{\Pi}}{\longrightarrow} & {\cal L}^R~=~\frac{1}{2}\dot{A}_i\left(\delta^{ij}+\frac{\partial^i \partial^j}{m^2-\nabla^2} \right)\dot{A}_j-\frac{1}{2}\vec{B}^2-\frac{1}{2}m^2\vec{A}^2 \end{array} \tag{1}$ поскольку реальная теория Прока сводится к своему лагранжеву аналогу (с точностью до членов полной производной), когда интегрируются / исключаются импульсы

\vec{Π}

$\vec{\Pi}$ . Следовательно, гамильтоновы и лагранжевы EOM должны согласовываться даже после устранения

A_{0}

$A_0$ поле. Более того, диаграмма (1) коммутирует , так как порядок исключения не должен иметь значения. В уравнении (1) плотность гамильтониана равна

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ЧАС "=" & \frac{1}{2} {\vec{Π}}^{2} + \frac{1}{2} {\vec{Б}}^{2} + \frac{1}{2} м^{2} А_{мю} А^{мю} - А_{0} \vec{\nabla} \cdot \vec{Π} \\ ↓ А_{0} \\ {ЧАС}^{р} "=" & \frac{1}{2} Π^{я} ({дельта}_{я Дж} - \frac{\partial_{я} \partial_{Дж}}{м^{2}}) Π^{Дж} + \frac{1}{2} {\vec{Б}}^{2} + \frac{1}{2} м^{2} {\vec{А}}^{2}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal H}~=~&\frac{1}{2}\vec{\Pi}^2 +\frac{1}{2}\vec{B}^2+\frac{1}{2}m^2 A_{\mu}A^{\mu}-A_0 \vec{\nabla}\cdot\vec{\Pi} \cr\cr &\downarrow A_0\cr\cr {\cal H}^R~=~&\frac{1}{2}\Pi^i\left(\delta_{ij}-\frac{\partial_i \partial_j}{m^2} \right)\Pi^j +\frac{1}{2}\vec{B}^2+\frac{1}{2}m^2 \vec{A}^2,\end{align}\tag{2}$ а магнитное поле

\begin{matrix} (3) & Б_{я} "=" \frac{1}{2} ϵ_{я Дж к} Ф_{Дж к}, {\vec{Б}}^{2} "=" \frac{1}{2} Ф_{я Дж} Ф_{я Дж} . \end{matrix}

$B_i~=~\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}F_{jk}, \qquad \vec{B}^2~=~\frac{1}{2}F_{ij}F_{ij} . \tag{3}$

--

$^1$ Если интегрировать / исключить $A_0$ , никто больше не сможет получить его EOM

\begin{matrix} (4) & А_{0} \approx - \frac{1}{м^{2}} \vec{\nabla} \cdot \vec{Π} . \end{matrix}

$A_0~\approx~-\frac{1}{m^2}\vec{\nabla}\cdot\vec{\Pi} .\tag{4}$

$^2$ NB. В этом ответе используется соглашение о противоположном знаке $(-,+,+,+)$ так что положение пространственных индексов не имеет значения.

Я не говорил, что это необходимо, проблема просто хочет, чтобы я это сделал. Я уверен, что ЭОМ в формализме Гамильтона и Лагранжа должны совпадать, но мы хотим это доказать (и я думаю, что сделал это в своем редактировании). Не могли бы вы взглянуть на него и ответить на мой дополнительный вопрос там?
Большой. Спасибо. Это проясняет ситуацию для меня!

Гамильтонов формализм массивного векторного поля

Муман

Ответы (2)

GRrocks

Муман

GRrocks

Qмеханик

Муман

Qмеханик

Муман

Канонический формализм в координатах светового конуса

Вопрос о выводе лагранжиана 1-го порядка в формализме Фаддеева-Жаккова

Ограничения уравнений гамильтоновых полей

Тензор энергии-импульса для электромагнетизма в искривленном пространстве

Как по лагранжиану рассчитать гамильтониан для нерелятивистской заряженной точечной частицы в электромагнитном поле?

Как увидеть, что E⋅BE⋅B\mathbf{E}\cdot\mathbf{B} является полной производной?

Уравнения движения Гамильтона на формализме Дирака

Вычисление лагранжиана из гамильтониана 12(−i∂ϕ−A)212(−i∂ϕ−A)2\frac{1}{2}(-i\partial_\phi -A)^2

Зависимость равновременной коммутации электромагнитного поля

Существует ли лагранжева или гамильтонова формулировка электромагнетизма с непрерывным распределением магнитных монополей?